Question

【題目】如圖①，點(diǎn)O為直線MN上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線OC，使∠NOC=60°．將一把直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OA在射線OM上，另一邊OB在直線AB的下方，其中∠OBA=30°

（1）將圖②中的三角尺沿直線OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度數(shù)；

（2）將圖①中的三角尺繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜360°），在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第幾秒時(shí)，直線OA恰好平分銳角∠NOC；

（3）將圖①中的三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A點(diǎn)B均在直線MN上方時(shí)（如圖③所示），請(qǐng)?zhí)骄俊?/span>MOB與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必寫出理由．

Answer 1

【答案】（1）∠A′ON=60°；（2）第15或秒時(shí)，直線OA恰好平分銳角∠NOC；（3）①當(dāng)OB，OA在OC的兩旁時(shí)，∠MOB-∠AOC=30°，②當(dāng)OB，OA在OC的同側(cè)時(shí)，∠MOB+∠AOC=120°-90°=30°．

【解析】

（1）如圖②中，延長(zhǎng)CO到C′．利用翻折不變性求出∠A′O′C′即可解決問題；
（2）設(shè)t秒時(shí)，直線OA恰好平分銳角∠NOC．構(gòu)建方程即可解決問題；
（3）分兩種情形分別求解即可解決問題；

（1）如圖②中，延長(zhǎng)CO到C′．

∵三角尺沿直線OC翻折至△A′B′O，

∴∠A′OC′=∠AOC′=∠CON=60°，

∴∠A′ON=180°-60°-60°=60°．

（2）設(shè)t秒時(shí)，直線OA恰好平分銳角∠NOC．

由題意10t=150或10t=330，

解得t=15或33s，

答：第15或秒時(shí)，直線OA恰好平分銳角∠NOC；

（3）①當(dāng)OB，OA在OC的兩旁時(shí)，∵∠AOB=90°，

∴120°-∠MOB+∠AOC=90°，

∴∠MOB-∠AOC=30°．

②當(dāng)OB，OA在OC的同側(cè)時(shí)，∠MOB+∠AOC=120°-90°=30°．