Question

如圖，已知等邊△ABC的邊長為6，點D是邊BC上的一個動點，折疊△ABC，使得點A恰好與邊BC上的點D重合，折痕為EF（點E、F分別在邊AB、AC上）．
（l）當AE：AF=5：4時，求BD的長；
（2）當ED上BC時，求EB的值；
（3）當以B、E、D為頂點的三角形與△DEF相似時，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊三角形的性質得到∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°，則∠BDE+∠BED=120°，根據折疊的性質得∠EDF=∠A=60°，AE=DE，AF=DF，則∠BDE+∠FDC=120°，得到∠BDE=∠DFC，根據三角形相似的判定得△BED∽△CDF，根據相似的性質有==；設AE=DE=5x，AF=FD=4x，BE=6-5x，FC=6-4x，則BD=FC=（6-4x），DC=BE=（6-5x），即有（6-4x）+（6-5x）=6，解出x即可計算出BD的長；
（2）由ED⊥BC，得到∠BDE=90°，而∠B=60°，AB=6，BE=x，則AE=ED=6-x，利用60°的正弦得到sin60°==，則6-x=x，解方程即可；
（3）討論：當△BED∽△DEF，則=，即=，由（1）得△BED∽△CDF，==，則=，所以BD=DC，則AD垂直平分BC，得到EF為△ABC的中位線，即可求出BE；當△BDE∽△DEF，得到∠BDE=∠DEF，則EF∥BC，也得到EF為△ABC的中位線，即可求出BE．
解答：解：（1）∵三角形ABC為等邊三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°，
∴∠BDE+∠BED=120°，
又∵折疊△ABC，使得點A恰好與邊BC上的點D重合，折痕為EF，
∴∠EDF=∠A=60°，AE=DE，AF=DF，
∴∠BDE+∠FDC=120°，
∴∠BDE=∠DFC，
∴△BED∽△CDF，
∴==，
當AE：AF=5：4，設AE=DE=5x，AF=FD=4x，BE=6-5x，FC=6-4x，
∴==，
∴BD=FC=（6-4x），DC=BE=（6-5x）
∴BD+DC=6，即（6-4x）+（6-5x）=6，
解得x=，
∴BD=（6-4×）=4；

（2）如圖，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE=90°，
而∠B=60°，AB=6，
設BE=x，則AE=ED=6-x，
∴sinB=sin60°==，
∴6-x=x，
解得x=12（2-），
∴BE=24-12；

（3）∵以B、E、D為頂點的三角形與△DEF相似，
當△BED∽△DEF，
∴=，即=，
又∵△BED∽△CDF，
∴==，
∴=，
∴BD=DC，
∴AD垂直平分BC，
∴EF為△ABC的中位線，
∴BE=3；
當△BDE∽△DEF，
∴∠BDE=∠DEF，
∴EF∥BC，
而EF垂直平分AD，
∴EF為△ABC的中位線，
∴BE=3．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩個角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等．也考查了折疊的性質以及等腰三角形的性質．