Question

9．A、B兩地相距20km，B在A的北偏東45°方向上，一森林保護(hù)中心P在A的北偏東30°和B的正西方向上，現(xiàn)計(jì)劃修建的一條高速公路將經(jīng)過(guò)AB（線段），已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以點(diǎn)P為圓心，半徑為4km的圓形區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)問(wèn)這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)？為什么？（sin15°=0.259，cos15°=0.966，tan15°=0.268）

Answer 1

分析 過(guò)P作PM⊥AB于M，延長(zhǎng)BP作BC⊥AC于C．在直角△APC中，運(yùn)用三角函數(shù)用求出AC，BC的長(zhǎng)．在直角△PCA中，運(yùn)用三角函數(shù)求出PC的長(zhǎng)，從而得到PB的長(zhǎng)．在直角△PMB中，運(yùn)用三角函數(shù)求出PM，比較PM與4km的大小關(guān)系即可．

解答 解：延長(zhǎng)BP作BC⊥AC于C，過(guò)P作PM⊥AB于M．
因?yàn)锽在A的北偏東45°方向上，
所以A在B的南偏西45°方向．
在Rt△ABC中，
∵∠CBA=∠CAB=45°，
∴AC=BC=10$\sqrt{2}$．
在直角△PCA中，
∠PAC=30°，則PC=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$，
∴PB=10$\sqrt{2}$-$\frac{10\sqrt{6}}{3}$，
在直角△PMB中，
PM=（10$\sqrt{2}$-$\frac{10\sqrt{6}}{3}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=10-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$≈4.226．
∵4.226＞4，
∴這條高速鐵路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．

點(diǎn)評(píng) 考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，根據(jù)三角函數(shù)求出PM的長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．