Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，G是AD延長線上的一點(diǎn)，且DG=AD，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著A→C→G的路線向G點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)(M不與A，G重合)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接BM并延長交AG于N．

（1）當(dāng)AM=_____________時(shí)，△ABM是以AB為底邊的等腰三角形；

（2）當(dāng)點(diǎn)N在AD邊上時(shí)，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分線于H，求證：BN=HN；

（3）過點(diǎn)M分別作AB，AD的垂線，垂足分別為E，F，矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3），當(dāng)t=時(shí)，S的最大值是．

【解析】

（1）△ABM是以AB為底邊的等腰三角形，則為正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，從而可得答案，

（2）在AB上截取AK=AN，連接KN；由正方形的性質(zhì)得出∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，得出BK=DN，先證出∠BKN=∠NDH，再證出∠ABN=∠DNH，由ASA證明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可；

（3）①當(dāng)M在AC上時(shí)，即0＜t≤時(shí)，△AMF為等腰直角三角形，得出AF=FM= 求出S=AFFM=；當(dāng)t=時(shí)，即可求出S的最大值； ②當(dāng)M在CG上時(shí)，即＜t＜時(shí)，先證明△ACD≌△GCD，得出∠ACD=∠GCD=45°，求出∠ACM=90°，證出△MFG為等腰直角三角形，得出FG=MGcos45°=，得出S=S△ACG-S△CMJ-S△FMG．

解：（1）△ABM是以AB為底邊的等腰三角形，

此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，

正方形ABCD，

故答案為：

（2）在AB上截取AK=AN，連接KN；

正方形ABCD，

∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，

BK=DN，

平分

△BNK≌△NHD，

BN=NH；

（3）①當(dāng)點(diǎn)M在AC上時(shí)，即0＜t≤時(shí)，

由正方形的性質(zhì)得：△AMF為等腰直角三角形．

∵AM=t，

∴AF=FM=

∴S=AFFM=

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)M在CG上時(shí)，

即＜t＜時(shí)，CM=，MG=．

∵AD=DG，∠ADC=∠CDG，CD=CD，

∴△ACD≌△GCD（SAS），

∴∠ACD=∠GCD=45°

∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°

∴∠G=90-∠GCD=90°-45°=45°

∴△MFG為等腰直角三角形．

∴FG=，

∴S=S△ACG-S△MCJ-S△FMG=

當(dāng) ，

綜上：當(dāng)

∴