Question

17．如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A₁，
（1）當(dāng)∠A為70°時，則∠A₁的度數(shù)是35°；當(dāng)∠A=90°時，∠A₁的度數(shù)是45°；
（2）①探索∠A與∠A₁之間數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；
②若∠A₁BC的角平分線與∠A₁CD的角平分線交于A₂，∠A₂BC與A₂CD的平分線交于A₃，如此繼續(xù)下去可得A₄、_…、A_n，請你直接寫出∠A_n與∠A的數(shù)量關(guān)系∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A；
（3）如圖，若P為BA延長線上一動點，連PC，∠APC與∠ACP的角平分線交于Q，隨著點P的運動，∠Q+∠A₁的值是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出其值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可得解；
（2）①同（1），②由三角形的外角性質(zhì)易知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BC，而∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A₁，可得∠A₁=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A；根據(jù)上面的思路可知：∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，…∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，根據(jù)這個規(guī)律進行求解即可．
（3）依然要用三角形的外角性質(zhì)求解，易知2∠A₁=∠APC+∠ACP=2（∠QPC+∠QCP），利用三角形內(nèi)角和定理表示出∠QPC+∠QCP，即可得到∠A₁和∠Q的關(guān)系．

解答 解：（1）∵A₁B是∠ABC的平分線，A₁C是∠ACD的平分線，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=70°，
∴∠A₁=35°
∵∠A=90°，
∴∠A₁=45°；
故答案為：35，45；

（2）①∵A₁B是∠ABC的平分線，A₁C是∠ACD的平分線，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A；
②同②可求得：
∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，
∠A₃=$\frac{1}{2}$∠A₂=$\frac{1}{{2}^{3}}$∠A，
…
依此類推，∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A；
故答案為：∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A；

（3）△ABC中，由三角形的外角性質(zhì)知：∠BAC=∠APC+∠ACP=2（∠QPC+∠QCP）；
即：2∠A₁=2（180°-∠Q），
化簡得：∠A₁+∠Q=180°．

點評 此題主要考查的是三角形的外角性質(zhì)，還涉及到角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理等知識，難度適中．