Question

【題目】已知中，，為線段上一點(diǎn)（不與重合），點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，，設(shè)，．

（1）如圖1，①若，，則__________，___________．

②若，，則__________，___________．

③寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）①10°，5°；②16°，8°；③α=2β，理由見(jiàn)解析；（2）2β=180°+α，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）①直接求α度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與等腰三角形的性質(zhì)求∠ACB和∠AED的度數(shù)再根據(jù)外角定理求β；②解法同①；③設(shè)∠BAC=x°，∠DAE=y°，則α=x°-y°，求出∠ACB和∠AED，利用外角定理即可求β，從而可得結(jié)論；

（2）設(shè)∠BAC=x°，∠DAE=y°，則α=x°-（180°-y°）=x°-180°+y°，同理得出出∠ACB和∠AED，利用外角定理即可求β，從而可得結(jié)論.

解：（1）①∵∠DAE=40°

∴∠ADE+∠AED=140°

∴∠ADE=∠AED=70°

∵∠BAC=50°

∴

∴

∵∠ADC=∠B+∠α=∠ADE+∠β

∴65°+10°=70°+∠β

∴∠β=5°

故答案為10°，5°；

②∵∠DAE=42°

∴∠ADE+∠AED=138°

∴∠ADE=∠AED=69°

∵∠BAC=58°

∴

∴

∵∠ADC=∠B+∠α=∠ADE+∠β

∴61°+16°=69°+∠β

∴∠β=8°

故答案為16°，8°；

③α=2β，理由是：

如圖（1），設(shè)∠BAC=x°，∠DAE=y°，則α=x°-y°，

∵∠ACB=∠ABC

∴

∵∠ADE=∠AED

∴

∴

∴α=2β

（2）如圖（2），2β=180°+α，理由是：

設(shè)∠BAC=x°，∠DAE=y°，則α=x°-（180°-y°）=x°-180°+y°

∵∠ACB=∠ABC

∴

∵∠ADE=∠AED

∴

∵∠EDB是△EDC的一個(gè)外角

∴∠EDB=∠AED+∠ACB

∴

∴2β=x°+y°，即2β=180°+α