Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線W的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3，拋物線W與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)為D，直線l經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)．

（2）將直線l向下平移m個(gè)單位，對(duì)應(yīng)的直線為l′．

①若直線l′與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，與y軸的正半軸交于點(diǎn)F，△AEF的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

②求m的值為多少時(shí)，S的值最大？最大值為多少？

（3）若將拋物線W也向下平移m單位，再向右平移1個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P落在△AOC的內(nèi)部（不包括△AOC的邊界），請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，4）（2）①S=﹣m2+m（0＜m＜3），②當(dāng)m=時(shí)，S的值最大，最大值為（3）3＜m＜4

【解析】試題分析：（1）令y＝0，求出A，B的橫坐標(biāo)，令x＝0求出C的縱坐標(biāo)，把二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可得出D的坐標(biāo)；

（2）①利用待定系數(shù)法確定出直線l的解析式，根據(jù)平移得出l′的解析式，求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)E，F的坐標(biāo)，得出AE，OF的長(zhǎng)，最后用面積公式即可得出結(jié)論；

②借助①的結(jié)論確定出最大值；

（3）利用平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

試題解析：

解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，得﹣x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，

∴A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(3，0)，(﹣1，0)，

當(dāng)x＝0時(shí)，得y＝3，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，3)，

∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(1，4)，

（2）①設(shè)直線l的解析式為y＝kx＋b，

則有，

∴，

∴直線l的解析式為y＝﹣x＋3．

∴直線l′的解析式為y＝﹣x＋3﹣m．

當(dāng)y＝0時(shí)，解得x＝3﹣m，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(3﹣m，0)

當(dāng)x＝0時(shí)，解得y＝3﹣m，

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3﹣m)

∴AE＝3﹣(3﹣m)＝m，OF＝3﹣m．

∴S＝×AE×OF＝m(3﹣m)＝﹣m2＋m(0＜m＜3)，

②∵S＝﹣m2＋m＝﹣(m﹣)2＋

∴當(dāng)m＝時(shí)，S有值最大，最大值為．

（3）∵拋物線W的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，

∴設(shè)平移后的拋物線解析式為y＝﹣(x﹣1﹣1)2＋4﹣m＝﹣(x﹣2)2＋4﹣m，

∴P(2，4﹣m)

∵A(3，0)，C(0，3)，

∴直線AC的解析式為y＝﹣x＋3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，

∵平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P落在△AOC的內(nèi)部，

∴0＜4﹣m＜1，

∴3＜m＜4．