Question

如圖，拋物線y=x²+bx-c與x軸交A（-1，0）、B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．
（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)表達式；
（2）若P點是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于F點，求線段PF長度的最大值．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點的坐標特征

專題：

分析：（1）把A、B兩點坐標代入拋物線的解析式，列出關于系數(shù)b、c的方程組，通過解方程組求得它們的值；利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可以求得點C的坐標；利用點A、C的坐標來求直線AC的解析式；
（2）不妨設點F（x，x²-2x-3），因為點F在直線AC上，因此則點P（x，-x-1）．由此得到PF=-x²+x+2．利用拋物線的頂點坐標公式來求最值．

解答：解：（1）將A、B兩點坐標代入拋物線的解析式，得

1-b-c=0 9+3b-c=0

，
解得

b=-2 c=3

，
所以拋物線解析式為y=x²-2x-3．
將點C的橫坐標代入拋物線解析式，得y=-3，即C（2，-3），設直線AC為y=kx+m（k≠0），將點A和點C坐標代入，
得

-k+m=0 2k+m=-3

，
解得

k=-1 m=-1

，
即直線AC解析式為 y=-x-1；

（2）如圖，不妨設點F（x，x²-2x-3），因為點F在直線AC上，因此則點P（x，-x-1）．
所以有 PF=-x-1-（x²-2x-3）=-x²+x+2．
則當x=-

b

2a

=

1

2

時，PF最大值=

4ac-b2

4a

=

9

4

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．解答（2）題時，也可以利用配方法進行解答．