Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以AB為直徑的半圓O在矩形ABCD的外部，將半圓O繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度（0°≤a≤180°）．

（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，B′C的最小值是　 　，如圖2，當(dāng)半圓O的直徑落在對(duì)角線AC上時(shí)，設(shè)半圓O與AB的交點(diǎn)為M，則AM的長(zhǎng)為　

（2）如圖3，當(dāng)半圓O與直線CD相切時(shí)，切點(diǎn)為N，與線段AD的交點(diǎn)為P，求劣弧AP的長(zhǎng)；

（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)半圓弧與直線CD只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，設(shè)此交點(diǎn)與點(diǎn)C的距離為d，請(qǐng)直接寫出d的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1，；（2）AP的長(zhǎng)＝；（3）4﹣≤d＜4或d＝4+.

【解析】

（1）連接B′M，則∠B′MA＝90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的長(zhǎng)度，由∠B＝∠B′MA＝90°、∠BCA＝∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AM的長(zhǎng)度；

（2）連接OP、ON，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AD于點(diǎn)G，則四邊形DGON為矩形，進(jìn)而可得出DG、AG的長(zhǎng)度，在Rt△AGO中，由AO＝2、AG＝1可得出∠OAG＝60°，進(jìn)而可得出△AOP為等邊三角形，再利用弧長(zhǎng)公式即可求出劣弧AP的長(zhǎng)；

（3）由（2）可知：△AOP為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出OG、DN的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出CN的長(zhǎng)度，畫出點(diǎn)B′在直線CD上的圖形，在Rt△AB′D中（點(diǎn)B′在點(diǎn)D左邊），利用勾股定理可求出B′D的長(zhǎng)度進(jìn)而可得出CB′的長(zhǎng)度，再結(jié)合圖形即可得出：半圓弧與直線CD只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)d的取值范圍．

解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝5，

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)B′落在對(duì)角線AC上時(shí)，B′C的值最小，最小值為1；

在圖2中，連接B′M，則∠B′MA＝90°．

在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝5．

∵∠B＝∠B′MA＝90°，∠BCA＝∠MAB′，

∴△ABC∽△AMB′，

∴，即，

∴AM＝；

故答案為：1，；

（2）在圖3中，連接OP、ON，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AD于點(diǎn)G．

∵半圓與直線CD相切，

∴ON⊥DN，

∴四邊形DGON為矩形，

∴DG＝ON＝2，

∴AG＝AD﹣DG＝1．

在Rt△AGO中，∠AGO＝90°，AO＝2，AG＝1，

∴∠AOG＝30°，∠OAG＝60°．

又∵OA＝OP，

∴△AOP為等邊三角形，

∴劣弧AP的長(zhǎng)＝；

（3）由（2）可知：△AOP為等邊三角形，

∴DN＝GO＝OA＝，

∴CN＝CD+DN＝4+，

當(dāng)點(diǎn)B′在直線CD上時(shí)，如圖4所示．

在Rt△AB′D中（點(diǎn)B′在點(diǎn)D左邊），AB′＝4，AD＝3，

∴B′D＝，

∴CB′＝4﹣，

∵AB′為直徑，

∴∠ADB′＝90°，

∴當(dāng)點(diǎn)B′在點(diǎn)D右邊時(shí)，半圓交直線CD于點(diǎn)D、B′．

∴當(dāng)半圓弧與直線CD只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，4﹣≤d＜4或d＝4+．