Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，連接DE．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜4）s．解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△EPQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）s或s；（2）t＝1或3或或秒

【解析】

（1）①當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，△PQE是直角三角形．證明△PQE∽△ACB，將PE、QE用時(shí)間t表示，由三角形對應(yīng)線段成比例的性質(zhì)即可求出t值；②當(dāng)PQ⊥DE時(shí)，證明△PQE∽△DAE，將PE、QE用時(shí)間t表示，利用三角形對應(yīng)線段成比例的性質(zhì)即可求出t值；

（2）分三種情形討論，①當(dāng)點(diǎn)Q在線段BE上時(shí)，EP＝EQ；②當(dāng)點(diǎn)Q在線段AE上時(shí)，EQ＝EP；③當(dāng)點(diǎn)Q在線段AE上時(shí)，EQ＝QP；④當(dāng)點(diǎn)Q在線段AE上時(shí)，PQ＝EP，分別列出方程即可解決問題．

解：（1）在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝16cm，

∴AB＝＝20cm．

∵D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)．

∴AD＝DC＝6cm，AE＝EB＝10cm，DE∥BC且DE＝BC＝8cm，

①如圖1中，PQ⊥AB時(shí)，

∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，

∴△PQE∽△ADE，

∴，

由題意得：PE＝8﹣2t，QE＝4t﹣10，

即 ，

解得t＝；

②如圖2中，當(dāng)PQ⊥DE時(shí)，△PQE∽△DAE，

∴，

∴，

∴t＝，

∴當(dāng)t為s或s時(shí)，以點(diǎn)E、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似．

（2）①如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BE上時(shí)，由EP＝EQ，可得8﹣2t＝10﹣4t，t＝1．

②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AE上時(shí)，由EQ＝EP，可得8﹣2t＝4t﹣10，解得t＝3．

③如圖5中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AE上時(shí)，由EQ＝QP，可得 （8﹣2t）：（4t﹣10）＝4：5，解得t＝．

④如圖6中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AE上時(shí)，由PQ＝EP，可得 （4t﹣10）：（8﹣2t）＝4：5，解得t＝．

綜上所述，t＝1或3或 或 秒時(shí)，△PQE是等腰三角形．