Question

給出如下n個平方數(shù)：1²，2²，…，n²，規(guī)定可以在其中的每個數(shù)前任意添上“+”號或“-”號，所得的代數(shù)和記為L．
（1）當n=8時，試設計一種可行方案使得|L|最��；
（2）當n=2005時，試設計一種可行方案使得|L|最�。�

Answer 1

（1）當L=1²-2²-3²+4²-5²+6²+7²-8²=0
或L=-1²+2²+3²-4²+5²-6²-7²+8²=0時，|L|最小且最小值為0；
（2）當n=2005時，
①∵給定的2005個數(shù)中有1003個奇數(shù)，
∴不管如何添置“+”和“-”號，其代數(shù)和總為奇數(shù)，
∴所求的最終代數(shù)和大于等于1．
于是我們尋求最終代數(shù)和等于1的可行方案．
②∵k²-（k+1）²-（k+2）²+（k+3）³=4，-k²+（k+1）²+（k+2）²-（k+3）³=-4，
∴對于8個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)總可以使得它們的代數(shù)和為0；
③若對6²，7²，…，2005²，根據(jù)①每連續(xù)8個一組適當添加“+”和“-”號，使每組的代數(shù)和為0，然后對1²，2²，…，5²進而設計，但無論如何設計，均無法使它們的代數(shù)和為1．
④在對1²，2²，…，5²的設計過程中，有一種方案：-1²+2²-3²+4²-5²=-15，
又由①知4個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)總可以使得它們的代數(shù)和為4，
∴16個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)總可以使得它們的代數(shù)和為16．
綜上，可行方案為：
首先對22²，23²，…，2005²，根據(jù)①每連續(xù)8個一組適當添加“+”和“-”號，使每組的代數(shù)和為0；其次對6²，7²，…，21²，根據(jù)③適當添加“+”和“-”號，使每組的代數(shù)和為16；最后對1²，2²，…，5²作-1²+2²-3²+4²-5²=-15設置，便可以使得給定的2005個數(shù)的代數(shù)和為1，即|L|最�。�