Question

15、給出如下n個(gè)平方數(shù)：1²，2²，…，n²，規(guī)定可以在其中的每個(gè)數(shù)前任意添上“+”號(hào)或“-”號(hào)，所得的代數(shù)和記為L(zhǎng)．
（1）當(dāng)n=8時(shí)，試設(shè)計(jì)一種可行方案使得|L|最小；
（2）當(dāng)n=2005時(shí)，試設(shè)計(jì)一種可行方案使得|L|最小．

Answer 1

分析：（1）應(yīng)該盡量構(gòu)成互為相反數(shù)的兩組數(shù)，可使2，3，5，8項(xiàng)的符號(hào)于其他項(xiàng)的符號(hào)相反即可；
（2）由于給定的2005個(gè)數(shù)中有1003個(gè)奇數(shù)，因而無(wú)論如何設(shè)計(jì)實(shí)施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”號(hào)，其代數(shù)和總為奇數(shù)，故所求的最終代數(shù)和大于等于1．于是我們尋求最終代數(shù)和等于1的可行方案；
②因?yàn)閗²-（k+1）²-（k+2）²+（k+3）³=4，-k²+（k+1）²+（k+2）²-（k+3）³=-4，所以對(duì)于8個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)總可以使得它們的代數(shù)和為0；③若對(duì)6²，7²，…，2005²，根據(jù)①每連續(xù)8個(gè)一組適當(dāng)添加“+”和“-”號(hào)，使每組的代數(shù)和為0，然后對(duì)1²，2²，…，5²進(jìn)而設(shè)計(jì)，但無(wú)論如何設(shè)計(jì)，均無(wú)法使它們的代數(shù)和為1．④在對(duì)1²，2²，…，5²的設(shè)計(jì)過(guò)程中，有一種方案：-1²+2²-3²+4²-5²=-15，又由①知4個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)總可以使得它們的代數(shù)和為4，進(jìn)而16個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)總可以使得它們的代數(shù)和為16．據(jù)此設(shè)計(jì)可行方案．

解答：解：（1）當(dāng)L=1²-2²-3²+4²-5²+6²+7²-8²=0
或L=-1²+2²+3²-4²+5²-6²-7²+8²=0時(shí)，|L|最小且最小值為0；
（2）當(dāng)n=2005時(shí)，
①∵給定的2005個(gè)數(shù)中有1003個(gè)奇數(shù)，
∴不管如何添置“+”和“-”號(hào)，其代數(shù)和總為奇數(shù)，
∴所求的最終代數(shù)和大于等于1．
于是我們尋求最終代數(shù)和等于1的可行方案．
②∵k²-（k+1）²-（k+2）²+（k+3）³=4，-k²+（k+1）²+（k+2）²-（k+3）³=-4，
∴對(duì)于8個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)總可以使得它們的代數(shù)和為0；
③若對(duì)6²，7²，…，2005²，根據(jù)①每連續(xù)8個(gè)一組適當(dāng)添加“+”和“-”號(hào)，使每組的代數(shù)和為0，然后對(duì)1²，2²，…，5²進(jìn)而設(shè)計(jì)，但無(wú)論如何設(shè)計(jì)，均無(wú)法使它們的代數(shù)和為1．
④在對(duì)1²，2²，…，5²的設(shè)計(jì)過(guò)程中，有一種方案：-1²+2²-3²+4²-5²=-15，
又由①知4個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)總可以使得它們的代數(shù)和為4，
∴16個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)總可以使得它們的代數(shù)和為16．
綜上，可行方案為：
首先對(duì)22²，23²，…，2005²，根據(jù)①每連續(xù)8個(gè)一組適當(dāng)添加“+”和“-”號(hào)，使每組的代數(shù)和為0；其次對(duì)6²，7²，…，21²，根據(jù)③適當(dāng)添加“+”和“-”號(hào)，使每組的代數(shù)和為16；最后對(duì)1²，2²，…，5²作-1²+2²-3²+4²-5²=-15設(shè)置，便可以使得給定的2005個(gè)數(shù)的代數(shù)和為1，即|L|最�。�

點(diǎn)評(píng)：此題考查整數(shù)的奇偶性問(wèn)題，由（1）得出規(guī)律：對(duì)于8個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)總可以使得它們的代數(shù)和為0，是解題的關(guān)鍵．