Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上．
（1）求證：BE=CE；
（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AC，D是BC的中點，

∴∠BAE=∠EAC，

在△ABE和△ACE中， ，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴BE=CE；

（2）證明：∵∠BAC=45°，BF⊥AF，

∴△ABF為等腰直角三角形，

∴AF=BF，

∵AB=AC，點D是BC的中點，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C=90°，

∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中， ，

∴△AEF≌△BCF（ASA）

【解析】（1）根據等腰三角形三線合一的性質可得∠BAE=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ACE全等，再根據全等三角形對應邊相等證明即可；（2）先判定△ABF為等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的兩直角邊相等可得AF=BF，再根據同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等即可．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）才能正確解答此題．