Question

7．如圖，等腰△ABC中，BA=BC，AO=3CO=6．動(dòng)點(diǎn)F在BA上以每分鐘5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B點(diǎn)出發(fā)向A點(diǎn)移動(dòng)，過(guò)F作FE∥BC交AC邊于E點(diǎn)，連結(jié)FO、EO．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）證明：當(dāng)△EFO面積最大時(shí)，△EFO∽△CBA．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)題意得出AC兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)BO=x，由勾股定理求出x的值，進(jìn)而可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)F點(diǎn)作FK⊥BC于K，可設(shè)F點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t，且0＜t＜2，由FE∥BC可得△AFE∽△ABC，而AO⊥BC交EF于T，故$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AT}{AO}$，$\frac{EF}{10}$=$\frac{6-3t}{6}$，即EF=10-5t，故S_△EFO=$\frac{1}{2}$EF×TO=$\frac{1}{2}$，當(dāng)t=1時(shí)，△EFO的面積達(dá)到最大值；此時(shí)BF=FA，EF恰好為△ABC的中位線，所以$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，由AO⊥BC于O得出$\frac{OF}{AB}$=$\frac{EO}{AC}$=$\frac{1}{2}$，故$\frac{FO}{AB}$=$\frac{EO}{AC}$=$\frac{EF}{BC}$，由此可得出結(jié)論；

解答 解：（1）∵AO=3CO=6，
∴CO=2，
∴C（2，0），A（0，6）．
設(shè)BO=x，且x＞0；則BC²=（2+x）²，AB²=AO²+OB²=36+x²；
又∵BC=AB，
∴（2+x）²=36+x²，解得x=8，
∴B（-8，0）；

（2）如圖1，過(guò)F點(diǎn)作FK⊥BC于K，
可設(shè)F點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t，且0＜t＜2，
則：BF=5t，TO=FK=3t；∴AT=6-3t，
又∵FE∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
而AO⊥BC交EF于T，
則：$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AT}{AO}$，∴$\frac{EF}{10}$=$\frac{6-3t}{6}$即EF=10-5t，
故S_△EFO=$\frac{1}{2}$EF×TO=$\frac{1}{2}$（10-5t）×3t，
即S_△EFO=-$\frac{15}{2}$（t-2）t，
∴當(dāng)t=1時(shí)，△EFO的面積達(dá)到最大值；     
此時(shí)BF=FA，EF恰好為△ABC的中位線．
則：$\frac{FE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
又有AO⊥BC于O，
則：$\frac{OF}{AB}$=$\frac{EO}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{FO}{AB}$=$\frac{EO}{AC}$=$\frac{EF}{BC}$，
∴△EFO∽△CBA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理等知識(shí)．