Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，連結(jié)AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD與△A1C1D1重疊部分的面積為s，則下列結(jié)論：①△A1AD1≌△CC1B；②s=（0＜x＜2）；③當(dāng)x=1時(shí)，四邊形ABC1D1是正方形；④當(dāng)x=2時(shí)，△BDD1為等邊三角形；其中正確的是 （填序號(hào)）．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

試題分析：①根據(jù)矩形的性質(zhì)，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性質(zhì)，可得出∠A1=∠ACB，A1D1=CB，從而證出結(jié)論；

②易得△AC1F∽△ACD，根據(jù)面積比等于相似比平方可得出s與x的函數(shù)關(guān)系式

③根據(jù)菱形的性質(zhì)，四條邊都相等，可推得當(dāng)C1在AC中點(diǎn)時(shí)四邊形ABC1D1是菱形．

④當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)C1與點(diǎn)A重合，可求得BD=DD1=BD1=2，從而可判斷△BDD1為等邊三角形．

解：①∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC=AD，BC∥AD

∴∠DAC=∠ACB

∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，

∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，

在△A1AD1與△CC1B中，

，

∴△A1AD1≌△CC1B（SAS），

故①正確；

②易得△AC1F∽△ACD，

∴

解得：S△AC1F=（x﹣2）2 （0＜x＜2）；故②正確；

③∵∠ACB=30°，

∴∠CAB=60°，

∵AB=1，

∴AC=2，

∵x=1，

∴AC1=1，

∴△AC1B是等邊三角形，

∴AB=D1C1，

又AB∥BC1，

∴四邊形ABC1D1是菱形，

故③錯(cuò)誤；

④如圖所示：

則可得BD=DD1=BD1=2，

∴△BDD1為等邊三角形，故④正確．

綜上可得正確的是①②④．

故答案為：①②④