Question

已知：拋物線y=ax²+2x+c，對稱軸為直線x=-1，拋物線與y軸交于點C，與x軸交于A（-3，0）、B兩點．
（1）求直線AC的解析式；
（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）P為拋物線上一點，若以線段PB為直徑的圓與直線BC切于點B，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由對稱軸為直線x=-1，與x軸交于A（-3，0）、B兩點，求出a的值與B點的坐標(biāo)，進而求出C點的坐標(biāo)，再求出直線AC的解析式；
（2）將四邊形ABCD面積用同一未知數(shù)表示，求出二次函數(shù)的最值即可，
（3）以線段PB為直徑的圓與直線BC切于點B，作出圖形，由三角形相似求出P點的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵對稱軸
∴a=1∵A（-3，0）∴c=-3
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b
∵A（-3，0），C（0，-3），代入得：
直線AC的解析式為y=-x-3

（2）代數(shù)方法一：
過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N．
設(shè)D（x，x²+2x-3），則M（x，-x-3）
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=
=
=
=
∴當(dāng)時，四邊形ABCD面積有最大值．
代數(shù)方法二：S_{四邊形ADCB}=S_△ADN+S_梯形NDCO+S_△OBC
=
=
∴當(dāng)時，四邊形ABCD面積有最大值．
幾何方法：
過點D作AC的平行線l，設(shè)直線l的解析式為y=-x+b．
由得：x²+3x-b-3=0
當(dāng)△=3²-4（-b-3）=0時，直線l與拋物線只有一個公共點
即：當(dāng)時，△ADC的面積最大，四邊形ABCD面積最大
此時公共點D的坐標(biāo)為
S_{四邊形ADCB}=S_△ADN+S_梯形NDCO+S_△OBC

=
即：當(dāng)時，四邊形ABCD面積有最大值．

（3）如圖所示，因為A（-3，0），拋物線對稱軸為直線x=-1，
由拋物線的軸對稱性可求得B（1，0），
∵以線段PB為直徑的圓與直線BC切于點B，
∴過點B作BC的垂線交拋物線于一點，則此點必為點P．
過點P作PE⊥x軸于點E，
∵A（-3，0），C（0，-3），
∴PB=BC，PE=OB，
∴Rt△PEB∽Rt△BOC
∴，故EB=3PE，
設(shè)P（x，x²+2x-3），∵B（1，0）
∴BE=1-x，PE=x²+2x-3，則1-x=3（x²+2x-3），
解得x₁=1（不合題意舍去），，
∴P點的坐標(biāo)為：．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的對稱性，以及二次函數(shù)的最值問題和相似三角形的判定．