Question

【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中,.該拋物線與軸交于點(diǎn),與軸交于另一點(diǎn).

(1)求的值及該拋物線的解析式;

(2)如圖2.若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)(不與重合).分別以、為斜邊,在直線的同側(cè)作等腰直角△和等腰直角△,連接,試確定△面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)如圖3.連接、,在線段上是否存在點(diǎn),使得以為頂點(diǎn)的三角形與△相似,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)，即時(shí)，最大，此時(shí),所以；（3）存在點(diǎn)坐標(biāo)為或.

【解析】（1）把A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出m與n的值，確定出A與B坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式求出b與c的值即可；

（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN為直角，由兩直角邊乘積的一半表示出三角形MPN面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出三角形面積最大時(shí)P的坐標(biāo)即可；

（3）存在，分兩種情況，根據(jù)相似得比例，求出AQ的長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出Q坐標(biāo)即可．

（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）．

∵y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與點(diǎn)B，∴，解得：，則二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+6x﹣5；

（2）如圖2，△APM與△DPN都為等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN為直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，設(shè)AP=m，則有DP=4﹣m，∴PM=m，PN=（4﹣m），∴S△MPN=PMPN=×m×（4﹣m）=﹣m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1，∴當(dāng)m=2，即AP=2時(shí)，S△MPN最大，此時(shí)OP=3，即P（3，0）；

（3）存在，易得直線CD解析式為y=x﹣5，設(shè)Q（x，x﹣5），由題意得：∠BAD=∠ADC=45°，分兩種情況討論：

①當(dāng)△ABD∽△DAQ時(shí)，=，即=，解得：AQ=，由兩點(diǎn)間的距離公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=，解得：x=，此時(shí)Q（，﹣）；

②當(dāng)△ABD∽△DQA時(shí)，=1，即AQ=，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此時(shí)Q（2，﹣3）．

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（，﹣）．