Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x＋3經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3，0)，P是拋物線上的一個動點(diǎn)．

（1）求該函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖所示，點(diǎn)P是拋物線上在第二象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，連接AC，PA，PC．求△ACP的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△ACP的面積最大時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）連接BC，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PCA＝∠OCB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2－2x＋3；（2），；（3）或(－4，－5)

【解析】

（1）將點(diǎn)A(-3，0)帶入解析式求解即可；

（2）過點(diǎn)P做垂線，則，利用已知A、C點(diǎn)坐標(biāo)可以求出AC直線的解析式，從而等到P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形面積公式求解即可；

（3）做出輔助線，借助三角函數(shù)得到∠PCA＝∠OCB的關(guān)系，從而得到邊與邊的關(guān)系，求解出未知數(shù)．

（1）二次函數(shù)過點(diǎn)A(-3，0)，代入有0=9a+6+3，a=-1，

故為此函數(shù)解析式為；

（2）過點(diǎn)P作PNAO于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)Q，

由（1）知，C(0，3)，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，（k0），將A(-3，0)、C(0，3)代入y=kx+b，得解得，

∴直線AC的解析式為y=x+3，

∵點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在直線AC上，

∴P(t，)，Q(t，t+3)，

∴PQ==，

；

當(dāng)時，△ACP的面積最大，；

故S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，P；

（3）拋物線上存在點(diǎn)P，使得∠PCA＝∠OCB，

過P點(diǎn)作PDAC，交AC于點(diǎn)D，如圖

已知拋物線方程為，，x=1，即可得到B(1，0)，

則有OB=1，OC=3，，

點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P(a，)，直線AC：y=x+3，則，直線PD過點(diǎn)P，即可求出PD的解析式為，又因為D為PD與AC的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組有，解得有，即D(，

，

，

∵∠PCA＝∠OCB，

∴，

∴，解得a=-4或a=，

所以存在點(diǎn)P(-4，-5)或．