Question

如圖，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于點D．下列結論中錯誤的是(     )

A．圖中共有三個等腰三角形     B．點D在AB的垂直平分線上

C．AC+CD=AB     D．BD=2CD

Answer 1

D【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，求出∠DAC和∠BAD，根據(jù)等腰三角形的判定即可判斷A；根據(jù)AD=BD即可判斷B；在AB上截取AE=AC，連接DE，證△EAD≌△CAD，推出DE=DC，∠C=∠AED=72°，求出CD=DE=BE，即可判斷C、D．

【解答】解：A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，

∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠DAB=36°，

即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，

∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本選項錯誤；

B、∵∠DAB=∠B，

∴AD=BD，

∴D在AB的垂直平分線上，故本選項錯誤；

C、在AB上截取AE=AC，連接DE，

在△EAD和△CAD中

∴△EAD≌△CAD，

∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，

∵∠B=36°，

∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B，

∴DE=BE，

即AB=AE+BE=AC+CD，故本選項錯誤；

D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，

∴BD＜2DC，故本選項正確；

故選D．

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形三邊關系定理的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力，有一定的難度．