Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c(a＜0)的頂點M(1，﹣4a)，且過點A(4，t)，與x軸交于B、C兩點(點B在點C的左側(cè))，直線l經(jīng)過點A，B，交y軸交于點D.

(1)若a＝﹣1，當(dāng)2≤x＜4時，求y的范圍；

(2)若△MBC是等腰直角三角形，求△ABM的面積；

(3)點E是直線l上方的拋物線上的動點，△BDE的面積的最大值為；設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、B、P、Q為頂點的四邊形能否為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ﹣5＜y≤3；(2)△ABM的面積＝4；(3)以點A、D、P、Q為頂點的平行四邊形都不可能是矩形，理由見解析.

【解析】

(1)a＝﹣1時，y＝﹣(x﹣3)(x+1)，當(dāng)x＝2時，y＝3，當(dāng)x＝4時，y＝﹣5，即可求解；

(2)△MBC是等腰直角三角形，則yM＝BC＝2，△ABM的面積＝×CB×yM＝×4×2＝4；

(3)S△ACE＝S△AFE﹣S△CFE，解得a＝﹣1；分AD是平行四邊形的一條邊、AD是平行四邊形的一條對角線，分別求解即可.

解：y＝a(x﹣1)2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，

令y＝0，則0＝ax2﹣2ax﹣3a，

解得x1＝﹣1，x2＝3

∵點A在點B的左側(cè)，

∴A(﹣1，0)，

∵直線l經(jīng)過點A，

∴0＝﹣k+b，b＝k，

∴y＝kx+k，

∵點D的橫坐標(biāo)為4，令ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，

∴a×42﹣2a×4﹣3a＝k×4+k，

∴k＝a，

∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax+a；

(1)a＝﹣1時，y＝﹣(x﹣3)(x+1)，

當(dāng)x＝2時，y＝3，當(dāng)x＝4時，y＝﹣5，

故﹣5＜y≤3；

(2)△MBC是等腰直角三角形，則yM＝BC＝2，

△ABM的面積＝×CB×yM＝4×2＝4；

(3)如答圖1，過點E作EF∥y軸，交直線l于點F，

設(shè)E(x，ax2﹣2ax﹣3a)，則F(x，ax+a)

EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣(ax+a)＝ax2﹣3ax﹣4a

S△ACE＝S△AFE﹣S△CFE

＝(ax2﹣3ax﹣4a)(x+1)﹣(ax2﹣3ax﹣4a)x

＝(ax2﹣3ax﹣4a)＝a(x﹣)2﹣a，

∴△ACE的面積的最大值為﹣a，

∵△ACE的面積的最大值為，

∴﹣a＝，

解得a＝﹣1；

拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，

∴A(﹣1，0)，D(4，﹣5)，

∴A、D點的橫坐標(biāo)相差5，

∴拋物線的對稱軸為x＝1，

∴P點的橫坐標(biāo)是1，

①如答圖2，若AD是平行四邊形的一條邊，AD∥QP，則點P與點Q的橫坐標(biāo)相差5，則Q點橫坐標(biāo)是﹣4，

∴Q(﹣4，﹣21)；

②如答圖3，若AD是平行四邊形的一條對角線，

則線段AD的中點的橫坐標(biāo)是，

∵P點的橫坐標(biāo)是1，

∴Q點橫坐標(biāo)是2，

∴Q(2，3)，

經(jīng)驗證以上兩種以點A、D、P、Q為頂點的平行四邊形都不可能是矩形.