Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥DC于點(diǎn)F，連接AP并延長(zhǎng)，交射線BC于點(diǎn)H，交射線DC于點(diǎn)M，連接EF交AH于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)P在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括B、D兩點(diǎn)），以下結(jié)論中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PMPH；④EF的最小值是．其中正確結(jié)論是（　�。�

A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④

Answer 1

【答案】B

【解析】①錯(cuò)誤．因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P與BD中點(diǎn)重合時(shí)，CM=0，顯然FM≠CM；

②正確．連接PC交EF于O．根據(jù)對(duì)稱性可知∠DAP=∠DCP，

∵四邊形PECF是矩形，

∴OF=OC，

∴∠OCF=∠OFC，

∴∠OFC=∠DAP，

∵∠DAP+∠AMD=90°，

∴∠GFM+∠AMD=90°，

∴∠FGM=90°，

∴AH⊥EF．

③正確．∵AD∥BH，

∴∠DAP=∠H，

∵∠DAP=∠PCM，

∴∠PCM=∠H，

∵∠CPM=∠HPC，

∴△CPM∽△HPC，

∴=，

∴PC2=PMPH，

根據(jù)對(duì)稱性可知：PA=PC，

∴PA2=PMPH．

④正錯(cuò)誤．∵四邊形PECF是矩形，

∴EF=PC，

∴當(dāng)CP⊥BD時(shí)，PC的值最小，此時(shí)A、P、C共線，

∵AC=2，

∴PC的最小值為1，

∴EF的最小值為1；

故選B．