Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)），與y軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)C，且tan∠ABC=3，

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)E是位于第四象限拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H，得到矩形EFGH，則在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長；

（3）設(shè)點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接PA、PC，求△PAC面積的取值范圍，當(dāng)△PAC面積為整數(shù)時(shí)，這樣的△PAC有幾個(gè)？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），這樣的有11個(gè)

【解析】

（1）拋物線解析式為，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求解即可；

（2）拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，分兩種情況，當(dāng)與當(dāng)，根據(jù)列式求解；

（3）設(shè)，分兩種情況考慮，當(dāng)時(shí)，由于S△ABC＝6，可求出△PAC面積的取值范圍，當(dāng)時(shí)，作軸交于點(diǎn)，根據(jù)直線的解析式可得出點(diǎn)，根據(jù)列式求解，進(jìn)而得解．

解：（1）拋物線解析式為，

，，

，

，

，

把代入得，

解得，，

所以二次函數(shù)解析式為，即；

（2）拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，

當(dāng)時(shí)，如圖1，，，

矩形為正方形，

，即，

整理得，，

解得，（舍去），（舍去）；

當(dāng)時(shí)，如圖2，，，

矩形為正方形，

，即，

整理得，，

解得，（舍去），

此時(shí)正方形的邊長為；

綜上所述，正方形的邊長為；

（3）設(shè)，

當(dāng)時(shí)，，

，

當(dāng)時(shí)，作軸交于點(diǎn)，如圖3，易得直線的解析式為，則，

，

，

當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為，即，

綜上所述，，

面積為整數(shù)時(shí)，它的值為1、2、3、4、5，即有11個(gè)．