Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為_____．

Answer 1

【答案】 +

【解析】

根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)D（1，4）、點(diǎn)E（2，3），作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′（-1，4）、作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′（2，-3），從而得四邊形EDFG的周長(zhǎng)=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，當(dāng)點(diǎn)D′、F、G、E′四點(diǎn)共線時(shí)，周長(zhǎng)最短，據(jù)此根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得答案．

解：如圖，

在y＝﹣x2+2x+3中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，即點(diǎn)C（0，3），

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，頂點(diǎn)D（1，4），

則點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3），

作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′（﹣1，4），作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′（2，﹣3），

連接D′、E′，D′E′與x軸的交點(diǎn)G、與y軸的交點(diǎn)F即為使四邊形EDFG的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，

四邊形EDFG的周長(zhǎng)＝DE+DF+FG+GE

＝DE+D′F+FG+GE′

＝DE+D′E′

＝.

∴四邊形EDFG的周長(zhǎng)的最小值為： +．

故答案是： +．