Question

【題目】如圖，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，雙曲線y= （k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于D、E，且BD=2AD

（1）求k的值和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使∠APE=90°？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB=4，BD=2AD，

∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，

∴AD= ，

又∵OA=3，

∴D（ ，3），

∵點(diǎn)D在雙曲線y= 上，

∴k= ×3=4；

∵四邊形OABC為矩形，

∴AB=OC=4，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為4．

把x=4代入y= 中，得y=1，

∴E（4，1）；

（2）

解：（2）假設(shè)存在要求的點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，0），OP=m，CP=4﹣m．

∵∠APE=90°，

∴∠APO+∠EPC=90°，

又∵∠APO+∠OAP=90°，

∴∠EPC=∠OAP，

又∵∠AOP=∠PCE=90°，

∴△AOP∽△PCE，

∴ ，

∴ ，

解得：m=1或m=3，

∴存在要求的點(diǎn)P，坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）．

【解析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的長(zhǎng)，然后求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求得k的值，繼而求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）首先假設(shè)存在要求的點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，0），OP=m，CP=4﹣m，由∠APE=90°，易證得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得m的值，繼而求得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．