Question

19．動手操作：在小學(xué)我們利用拼圖的方法得到三角形內(nèi)角和為180°．
如圖1，把△ABC分成三部分，然后以頂點(diǎn)C為中心，把三個角拼在一起構(gòu)成平角，如圖所示，從而得到三角形內(nèi)角和是180°

說明論證：
根據(jù)拼圖過程，小明給出了不完整的說理過程，請按小明的思路補(bǔ)全說理過程．
已知：如圖2，在△ABC，∠A、∠B、∠C是三角形的三個內(nèi)角；
 說明：∠A+∠B+∠C=180°
 理由：延長BC到點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE∥AB，（補(bǔ)全輔助線作法，并在圖2中作出輔助線來）
∴∠A=∠1；∠B=∠2
∵∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定義）
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）
簡單應(yīng)用：
在△ABC，∠A比∠C大35°、∠B比∠A大5°，求△ABC三個內(nèi)角度數(shù)；
拓展歸納：
（1）如圖3，在四邊形ABCD中，連接AC，則∠ABC+∠BCD+∠D+∠DAB的度數(shù)？（直接寫結(jié)果）
（2）如圖4，在五邊形ABCDE中，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)？（直接寫結(jié)果）
（3）猜想：在n邊形ABCDE…R中，則∠A+∠B+…∠E+∠R的度數(shù)？（直接寫結(jié)果）

Answer 1

分析 說明論證：延長BC到點(diǎn)D，過點(diǎn)C作 CE∥AB，由平行線的性質(zhì)得出∠A=∠1，∠B=∠2，再由平角的定義即可得出結(jié)論；
簡單應(yīng)用：根據(jù)題意得出∠C=∠A-35°，∠B=∠A+5°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠A+5°+∠A-35°=180°，解方程求出∠A=70°，即可得出∠B、∠C的度數(shù)；
拓展歸納：（1）在△ABC和△ACD中，由三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠DAC+∠ACD+∠D=180°，即可得出結(jié)論；
（2）連接AC、AD，在△ABC、△ACD、△ADE中，由三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，∠DAE+∠ADE+∠E=180°，即可得出結(jié)論；
（3）由三角形內(nèi)角和、四邊形內(nèi)角和、五邊形內(nèi)角和得出規(guī)律，即可得出結(jié)果．

解答 解：說明論證：
已知：如圖2，在△ABC，∠A、∠B、∠C是三角形的三個內(nèi)角；
 說明：∠A+∠B+∠ACB=180°
 理由：延長BC到點(diǎn)D，過點(diǎn)C作 CE∥AB，如圖2所示：
∴∠A=∠1，∠B=∠2，
∵∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定義）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）；
故答案為：CE∥AB，∠1，∠2；∠1，∠2；
簡單應(yīng)用：
解：根據(jù)題意得：∠C=∠A-35°，∠B=∠A+5°，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A+∠A+5°+∠A-35°=180°，
解得：∠A=70°，
∴∠B=75°，∠C=35°；
拓展歸納：
解：（1）∠ABC+∠BCD+∠D+∠DAB=360°；理由如下：
∵在△ABC和△ACD中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠DAC+∠ACD+∠D=180°，
∴∠BAC+∠B+∠ACB+∠DAC+∠ACD+∠D=2×180°=360°，
即∠ABC+∠BCD+∠D+∠DAB=360°；
（2）∠BAE+∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=540°；理由如下：
連接AC、AD，如圖4所示：
∵在△ABC、△ACD、△ADE中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，∠DAE+∠ADE+∠E=180°，
∴∠BAC+∠B+∠ACB+∠DAC+∠ACD+∠ADC+∠DAE+∠ADE+∠E=3×180°=540°，
即∠BAE+∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=540°；
（3）∠A+∠B+…∠E+∠R=（n-2）×180°；理由如下：
∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°=（3-2）×180°，
在四邊形ABCD中，∠ABC+∠BCD+∠D+∠DAB=360°=（4-2）×180°，
在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°=（5-2）×180°，
∴在n邊形ABCDE…R中，∠A+∠B+…∠E+∠R=（n-2）×180°．

點(diǎn)評 本題是三角形綜合題目，考查了平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理的證明以及運(yùn)用等知識；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．