Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，原點為O，點A（0，3），B（2，3），C（2，-3），D（0，-3）．點P，Q是長方形ABCD邊上的兩個動點，BC交x軸于點M．點P從點O出發(fā)以每秒1個單位長度沿O→A→B→M的路線做勻速運動，同時點Q也從點O出發(fā)以每秒2個單位長度沿O→D→C→M的路線做勻速運動．當點Q運動到點M時，兩動點均停止運動．設運動的時間為t秒，四邊形OPMQ的面積為S．
（1）當t=2時，求S的值；
（2）若S＜5時，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 設三角形OPM的面積為S₁，三角形OQM的面積為S₂，則S=S₁+S₂．
（1）當t=2時，可得點P（0，2），Q（1，-3），過點Q作QE⊥x軸于點E．根據(jù)三角形的面積公式分別求出S₁，S₂，進而得出S的值；
（2）設點P運動的路程為t，則點Q運動的路程為2t．分五種情況進行討論：①0＜t≤1.5；②1.5＜t≤2.5；③2.5＜t≤3； ④3＜t＜4；⑤t=4．針對每一種情況，首先確定出對應范圍內(nèi)點P，Q的位置，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．

解答 解：設三角形OPM的面積為S₁，三角形OQM的面積為S₂，則S=S₁+S₂．
（1）當t=2時，點P（0，2），Q（1，-3），過點Q作QE⊥x軸于點E．
∵S₁=$\frac{1}{2}$OP•OM=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
S₂=$\frac{1}{2}$QE•OM=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
∴S=S₁+S₂=5；

（2）設點P運動的路程為t，則點Q運動的路程為2t．
①當0＜t≤1.5時，點P在線段OA上，點Q在線段OD上，
此時四邊形OPMQ不存在，不合題意，舍去．
②當1.5＜t≤2.5時，點P在線段OA上，點Q在線段DC上．
S=$\frac{1}{2}$×2t+$\frac{1}{2}$×2×3=t+3，
∵S＜5，
∴t+3＜5，解得t＜2．
此時1.5＜t＜2．
 ③當2.5＜t≤3時，點P在線段OA上，點Q在線段CM上．
S=$\frac{1}{2}$×2t+$\frac{1}{2}$×2（8-2t）=8-t，
∵S＜5，
∴8-t＜5，解得t＞3．
 ④當3＜t＜4時，點P在線段AB上，點Q在線段CM上．
S=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2（8-2t）=11-2t，
∵S＜5，
∴11-2t＜5，解得t＞3．
此時3＜t＜4．
 ⑤當t=4時，點P是線段AB的中點，點Q與M重合，兩動點均停止運動．
此時四邊形OPMQ不存在，不合題意，舍去．
綜上所述，當S＜5時，1.5＜t＜2或3＜t＜4．

點評 本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，三角形、四邊形的面積，確定點P，Q的位置是解決第（1）問的關鍵；正確進行分類，考慮到所有可能的情況是解決第（2）問的關鍵．