Question

【題目】

如圖1，拋物線y=ax2+bx+ ，經(jīng)過(guò)A（1，0）、B（7，0）兩點(diǎn)，交y軸于D點(diǎn)，以AB為邊在x軸上方作等邊△ABC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，是S△ABM= S△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，AF與BE相交于點(diǎn)P．
①若CE=BF，試猜想AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠APB的度數(shù)，并說(shuō)明理由；
②若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E由A運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（不需要寫(xiě)過(guò)程）．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點(diǎn)A（1，0），B（7，0）代入拋物線的解析式得： ，

解得：a= ，b=﹣2．

∴拋物線的解析式為y= x2﹣2x+ ．

（2）解：存在點(diǎn)M，使得S△ABM= S△ABC．

理由：如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸，垂足為K．

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．

∵CK⊥AB，

∴KA=BK=3，∠ACK=30°．

∴CK=3 ．

∴S△ABC= ABCK= ×6×3=9 ．

∴S△ABM= ×9 =12．

設(shè)M（a， a2﹣2a+ ）．

∴ AB|y|=12，即 ×6×（ a2﹣2a+ ）=12，

解得：a1=9，a2=﹣1．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（9，4）或（﹣1，4）．

（3）解：①結(jié)論：AF=BE，∠APB=120°．

∵△ABC為等邊三角形，

∴BC=AB，∠C=∠ABF．

∵在△BEC和△AFB中 ，

∴△BEC≌△AFB．

∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．

∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．

∴∠APB=180°﹣60°=120°．

②當(dāng)AE≠BF時(shí)，由①可知點(diǎn)P在以M為圓心，在以AB為弦的圓上，過(guò)點(diǎn)M作MK⊥AB，垂足為k．

∵∠APB=120°，

∴∠N=60°．

∴∠AMB=120°．

又∵M(jìn)K⊥AB，垂足為K，

∴AK=BK=3，∠AMK=60°．

∴AK=2 ．

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑= = ．

當(dāng)AE=BF時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上時(shí)，如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AB，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑=CK的長(zhǎng)．

∵AC=6，∠CAK=60°，

∴KC=3 ．

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑為3 ．

綜上所述，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑為3 或 ．

【解析】（1）將點(diǎn)A（1，0），B（7，0）代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、b方程組，解關(guān)于a、b的方程組即可求得a、b的值；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸，垂足為K．依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得CK然后依據(jù)三角形的面積公式結(jié)合已知條件可求得S△ABM的面積，然后依據(jù)三角形的面積公式可得到關(guān)于a的方程，從而可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）①首先證明△BEC≌△AFB，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知：AF=BE，∠CBE=∠BAF，然后通過(guò)等量代換可得∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，最后依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠APB；
②當(dāng)AE≠BF時(shí)，由①可知點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB，垂足為E．先求得⊙M的半徑，然后依據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑；當(dāng)AE=BF時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥AB，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑=CK的長(zhǎng)．