Question

【題目】如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為直線下方拋物線上一點(diǎn)，連接，．

（1）求拋物線的解析式．

（2）的面積是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出最大值和此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）為軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

【解析】

（1）先設(shè)頂點(diǎn)式，再代入頂點(diǎn)坐標(biāo)得出，最后代入計(jì)算出二次項(xiàng)系數(shù)即得；

（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為，先求出B、C兩點(diǎn)，再用含m的式子表示出的面積，進(jìn)而得出面積與m的二次函數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即得最值；

（3）分成Q點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)和右側(cè)兩種情況，再分別根據(jù)和列出方程求解即得．

（1）設(shè)拋物線的解析式為．

∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為

∴．

∵將點(diǎn)代入，解得

∴拋物線的解析式為．

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)．

∵將代入，解得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∵將代入，解得

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為

設(shè)直線的解析式為

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴，解得

∴直線的解析式為．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

∵

∴

故當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值為

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

分兩種情況進(jìn)行①如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，分別交軸、對(duì)稱軸于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵

∴

∴在和中

∴

∴

∵，

∴

解得（舍去），

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

②如圖3，過(guò)點(diǎn)，作軸的平行線，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，分別交，于點(diǎn)，．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)

∵由①知

∴

∵，

∴

解得，（舍去)

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．