Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE交射線DC于點(diǎn)F，將△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．

1.當(dāng)=1時(shí)，CF=_____cm；

2.當(dāng) =2時(shí)，求sin∠DAB′的值；

3.當(dāng) =x時(shí)（點(diǎn)C與點(diǎn)E不重合），求△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式．

 

Answer 1

 

1.CF=6cm

2.sin∠DAB′=  或sin∠DAB′= ．

3.y= 或 y= ．

解析:本題考查為四邊形和三角形的相似。

解：（1）CF=6cm．………2’

（2）①如圖1．當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，延長(zhǎng)AB′交DC于點(diǎn)M．

∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴ ．

∵ =2，∴CF=3；∵AB∥CF，∴∠BAE=∠F；又∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠F，∴MA=MF．

令MA=MF=k，則MC=k-3，DM=9-k．

在Rt△ADM中，由勾股定理得：k²=（9-k）²+6²，

 

解得k=MA= ，∴DM= ．……3’∴sin∠DAB′= ．……4’

②如圖2．當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)AD交B′E于點(diǎn)N，同①可得NA=NE．

設(shè)NA=NE=m，則B′N=12-m，在Rt△AB′N中，由勾股定理，得m²=（12-m）²+6²，

解得m=AN= ，  ∴B′N= ，在Rt△AB′N中，由勾股定理，得m²=（12-m）²+6²，

解得m=AN= ，∴B′N= ，……5’∴sin∠DAB′= ．………6’

（3）當(dāng) =x時(shí)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y．當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)．∵ =x，∴= ，BE= ，∴y= ×AB×BE，即y= ．…8’

②當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，△ADF的面積為所求．

∵ =x，∴ = ，又∵AD=6，∴FC= ，DF=6- ；∴ ，

∴y= ．