Question

【題目】已知一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0．

（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，試求m的取值范圍；

（2）若拋物線y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1與直線y＝x+m沒有交點，試求m的取值范圍；

（3）求證：不論m取何值，拋物線y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1圖象的頂點都在一條定直線上．

Answer 1

【答案】（1）m＞﹣．（2）m＜﹣1．（3）詳見解析．

【解析】

（1）根據方程的系數(shù)結合根的判別式△＞0，可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；

（2）將一次函數(shù)解析式代入二次函數(shù)解析式中整理后可得出關于x的一元二次方程，由拋物線與直線無交點，可得出根的判別式△＜0，進而可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；

（3）利用二次函數(shù)的性質可得出拋物線的頂點坐標，設x＝﹣m﹣，y＝﹣m﹣，則m＝﹣x﹣，將m＝﹣x﹣代入y中即可得出結論．

解：（1）∵一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，

∴△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，

解得：m＞﹣．

（2）將y＝x+m代入y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1，得：x+m＝x2+（2m+1）x+m2﹣1，

整理，得：x2+2mx+m2﹣m﹣1＝0．

∵拋物線y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1與直線y＝x+m沒有交點，

∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＜0，

解得：m＜﹣1．

（3）證明：∵拋物線解析式為y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1，

∴a＝1，b＝2m+1，c＝m2﹣1，

∴拋物線的頂點坐標為（﹣，），即（﹣m﹣，﹣m﹣）．

設x＝﹣m﹣，y＝﹣m﹣，則m＝﹣x﹣，

∴y＝﹣m﹣＝x+﹣＝x﹣．

∴不論m取何值，拋物線y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1圖象的頂點都在一條定直線y＝x﹣上．