已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-2)與y軸交于點(diǎn)C(0,),與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左邊).
(1)求此拋物線的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),點(diǎn)Q在線段BM上移動(dòng)且∠MPQ=45°,設(shè)線段OP=x,MQ=1,求y1與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
(3)①在(2)的條件下是否存在點(diǎn)P,使△PQB是PB為底的等腰三角形,若存在試求點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在說(shuō)明理由;
②在(1)中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F,使△BMF是等腰三角形,若存在直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-1)2-2,將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可得出答案;
(2)先證明△MPQ∽△MPB,根據(jù)相似的性質(zhì)列等式,求y1與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)①假設(shè)存在滿足條件的P點(diǎn),根據(jù)條件△PQB是PB為底的等腰三角形,作PB的垂直平分線交BM于Q,QP=QB.求出P點(diǎn)和Q點(diǎn)坐標(biāo);②根據(jù)△BMF是等腰三角形,只要點(diǎn)F使得該三角形的兩邊相等即可.
解答:解:(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為M(1,-2)可設(shè)y=a(x-1)2-2,
由點(diǎn)(0,)得:

,即

(2)在x2=3中,由y=0,得,
解得:x1=-1,x2=3,
∴A為(-1,0),B為(3,0).
∵M(jìn)(1,-2),
∴∠MBO=45°,MB=
∴∠MPQ=45°∠MBO=∠MPQ,
又∵∠M=∠M,
∴△MPQ∽△MPB,
,
,
,
(0≤x<3).

(3)①存在點(diǎn)Q,使QP=QB,即△PQB是以PB為底的等腰三角形,
作PB的垂直平分線交BM于Q,則QP=QB.
∴∠QPB=∠MBP=45°
又∵∠MPQ=45°,
∴此時(shí)MP⊥x軸,
∴P為(1,0),
∴PB=2.
∴Q的坐標(biāo)為(2,-1).
②使△BMF是等腰三角形的F點(diǎn)有:
F1(1,0),F(xiàn)2(1,),F(xiàn)3(1,),F(xiàn)4(1,2).
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的知識(shí),是一道綜合題,有一定難度,注意對(duì)各部分知識(shí)的熟練掌握以便靈活應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:拋物線y=x2-(a+b)x+
c2
4
,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,拋物線與y軸交于點(diǎn)N,若拋物線的對(duì)稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為
3
,拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q,問(wèn)是否精英家教網(wǎng)存在過(guò)P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),一條直線y=ax+b,它們的系數(shù)之間滿足如下關(guān)系:a>b>c.
(1)求證:拋物線與直線一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)設(shè)拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,過(guò)A、B分別作x軸的垂線,垂足分別為A1、B1.令k=
c
a
,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)k,使線段A1B1的長(zhǎng)為4
2
.如果存在,求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•貴陽(yáng))已知:直線y=ax+b過(guò)拋物線y=-x2-2x+3的頂點(diǎn)P,如圖所示.
(1)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是
(-1,4)
(-1,4)
;
(2)若直線y=ax+b經(jīng)過(guò)另一點(diǎn)A(0,11),求出該直線的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,若有一條直線y=mx+n與直線y=ax+b關(guān)于x軸成軸對(duì)稱,求直線y=mx+n與拋物線y=-x2-2x+3的交點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知:拋物線數(shù)學(xué)公式,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,拋物線與y軸交于點(diǎn)N,若拋物線的對(duì)稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為數(shù)學(xué)公式,拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q,問(wèn)是否存在過(guò)P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009年四川省綿陽(yáng)市南山中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知:拋物線,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,拋物線與y軸交于點(diǎn)N,若拋物線的對(duì)稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為,拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q,問(wèn)是否存在過(guò)P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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