Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m（1＜m＜4）連接BC，DB，DC．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）△BCD的面積是否存在最大值，若存在，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，D的坐標(biāo)為（2，6）；（3）存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（2，0）或（6，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先根據(jù)函數(shù)解析式求出點(diǎn)C、D坐標(biāo)，再將過點(diǎn)D作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E，利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式，從而得出點(diǎn)E坐標(biāo)，然后根據(jù)得出的面積表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的面積取最大值時(shí)m的值，從而可得點(diǎn)D坐標(biāo)；

（3）根據(jù)平行四邊形的定義分兩種情況：BD為平行四邊形的邊和BD為平行四邊形的對(duì)角線，然后先分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)N坐標(biāo)，從而即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)．

（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)

∴

解得

故拋物線的解析式為；

（2）的面積存在最大值．求解過程如下：

，當(dāng)時(shí)，

由題意，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為，其中

如圖1，過點(diǎn)D作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E

設(shè)直線BC的解析式為

把點(diǎn)代入得

解得

∴直線BC的解析式為

∴可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，隨m的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨m的增大而減小

則當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為6

此時(shí)，

故的面積存在最大值，此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)為；

（3）存在．理由如下：

由平行四邊形的定義，分以下兩種情況討論：

①當(dāng)BD是平行四邊形的一條邊時(shí)

如圖2所示：M、N分別有三個(gè)點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)

∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為絕對(duì)值為6

即

解得（與點(diǎn)D重合，舍去）或或

則點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為或或

即點(diǎn)M坐標(biāo)為或或

②如圖3，當(dāng)BD是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)

∴此時(shí)，點(diǎn)N與C重合，，且點(diǎn)M在點(diǎn)B右側(cè)

，即

綜上，存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．點(diǎn)M坐標(biāo)為或或或．