Question

【題目】(1)模型建立，如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E.求證：△BEC≌△CDA；

(2)模型應(yīng)用：

①已知直線y＝x＋3與y軸交于A點，與x軸交于B點，將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段BC，過點A，C作直線.求直線AC的解析式；

②如圖3，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點，B的坐標(biāo)為(8，6)，A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動點，已知點D在第一象限，且是直線y＝2x－6上的一點，若△APD是不以A為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）y=x+4（3）(4,2)或()或().

【解析】

（1）由條件可求得∠EBC=∠ACD，利用AAS可證明△BEC≌△CDA；

（2）由直線解析式可求得A、B的坐標(biāo)，利用模型結(jié)論可得CE=BO，BE=AO，從而可求得C點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式；

（3）分三種情況考慮：如圖2所示，當(dāng)∠ADP=90°時，AD=PD，設(shè)D點坐標(biāo)為（x，2x-6），利用三角形全等得到x+6-（2x-6）=8，得x=4，易得D點坐標(biāo)；如圖3所示，當(dāng)∠APD=90°時，AP=PD，設(shè)點P的坐標(biāo)為（8，m），表示出D點坐標(biāo)為（14-m，m+8），列出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可確定出D點坐標(biāo)；如圖4所示，當(dāng)∠ADP=90°時，AD=PD時，同理求出D的坐標(biāo)．

(1)∵∠ACB=90，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACD=90，

∴∠EBC=∠ACD，

在△BEC和△CDA中 ，

∴△BEC≌△CDA(AAS)；

(2)如圖1,

過點B作BC⊥AB交直線l于C過C作CD⊥x軸于點D，

在y=x+4中，令y=0可求得x=3，令x=0可求得y=4，

∴OA=4，OB=3，

同(1)可證得△CDB≌△BAO，

∴CD=BO=3，BD=AO=4，

∴OD=4+3=7，

∴C(7,3),且A(0,4)，

設(shè)直線AC解析式為y=kx+4,把C點坐標(biāo)代入可得7k+4=3,解得k=，

∴直線AC解析式為y=x+4；

(3)如圖2,

當(dāng)∠ADP=90時，AD=PD，

過點P作PE⊥OA于E，過點D作DF⊥PE于F，

∴點E與點A重合,∴DF=AB=4

設(shè)D點坐標(biāo)為(x,2x6),6(2x6)=4，得x=4，

易得D點坐標(biāo)(4,2)；

如圖3,當(dāng)∠APD=90°時，AP=PD，

過點P作PE⊥OA于E，過點D作DF⊥PE于F，

設(shè)點P的坐標(biāo)為(8,m),易證,△APE≌△PDF，

∴PF=AE=6m，DF=PE=8，

∴D點坐標(biāo)為(1m,m+8)，

∴m+8=2(14m)6,得m= ,

∴D點坐標(biāo)()；

如圖4,當(dāng)∠ADP=90°時,AD=PD時,同理得D點坐標(biāo)()，

綜上可知滿足條件的點D的坐標(biāo)分別為(4,2)或()或().