已知二次函數(shù)y=-x2+2x+圖象交x軸于點A,B(A在B的左側),交y軸于點C,點D是該函數(shù)圖象上一點,且點D的橫坐標為3,連接BD.點E是線段AB上一動點(不與點A重合),過E作EF⊥AB交射線AD于點F,以EF為一邊在EF的右側作正方形EFGH.設E點的坐標為(t,0).
(1)求射線AD的解析式;
(2)在線段AB上是否存在點E,使△OCG為等腰三角形?若存在,求正方形EFGH的邊長;若不存在,請說明理由;
(3)設正方形EFGH與△ABD重疊部分面積為S,求S與t的函數(shù)關系式.

【答案】分析:(1)根據拋物線的解析式求出A、B、C、D的坐標,然后用待定系數(shù)法就可以求出AD的解析式;
(2)根據等腰三角形的性質及兩點間的距離公式建立方程,分類討論就可以求出正方形的邊長,從而得出結論;
(3)分情況討論從-1<t≤,<t≤2,2<t≤3及3<t<5四種情況求出S與t的函數(shù)關系式.
解答:解:(1)當x=3時,
y=-×9+2×3+=4,
∴D(3,4).
當y=0時,
-x2+2x+=0,
解得:x1=-1,x2=5.
∵A在B的左側,
∴A(-1,0),B(5,0).
當x=0時,y=2.5,
∴C(0,2.5).
設AD的解析式為y=kx+b,由題意,得
,
解得:,
∴AD的解析式為:y=x+1(x≥-1);

(2)∵y=x+1,
∴當x=0時,y=1,
∴tan∠DAB=1.
∵E(t,0).
∴OE=t,
∴AE=t+1,EF=t+1,
∵四邊形EFGH是正方形,
∴EF=EH=GH=t+1,
∴G(2t+1,t+1)
①當CO=OG時
(2t+1)2+(t+1)2=2.52,
解得:t1=0.5,t2=-1.7(舍去),
∴正方形的邊長為0.5+1=1.5.
②當GC=OC時
(2t+1)2+(t+1-2.5)2=2.52
解得:t1=,t2=(舍去)
∴正方形的邊長為+1=
③當OG=CG時,
(2t+1)2+(t+1)2=(2t+1)2+(t+1-2.5)2,
解得:t=,
∴正方形的邊長為+1=
綜上所述,正方形的邊長為:1.5、1.6或
(3)設BD的解析式為y=kx+b,由B、D的坐標為:
,
解得:,
∴y=-2x+10
∴t+1=-2(2t+1)+10,
∴t=
∴①如圖1,當0<t≤時,S=(t+1)2=t2+2t+1;
②如圖2,當點H與點B重合時,即2t+1=5時,
t=2,
∴t+1=-2x+10,
∴x=4.5-t
<t≤2時,S=-=-t2+t-
③如圖3,當2<t≤3時,S==-2+t+,
④如圖4,作DS⊥OB于S,
∴∠DSB=90°.
∵D(3,4),B(5,0),
∴OS=3,DS=4,OB=5,
∴BS=2,
∴tan∠DBS=2,
當3<t<5時,
BE=5-t,
∴PE=2(5-t)
S==(t-5)2
S=t2-10t+25,
如圖5,當-1<t≤0時,
∵E(t,0),
∴OE=-t,
∴AE=EF=1+t,
S=(t+1)2=t2+2t+1;
∴S與t的函數(shù)關系式為:S=
點評:本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查拋物線的性質的運用,待定系數(shù)法求一次函數(shù)的額解析式的運用,等腰三角形的性質的運用,多邊形的面積公式的運用,動點問題與二次函數(shù)的關系的運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象過點A(1,2),B(3,2),C(0,-1),D(2,3).點P(x1,y1),Q(x2,y2)也在該函數(shù)的圖象上,當0<x1<1,2<x2<3時,y1與y2的大小關系正確的是( �。�
A、y1≥y2B、y1>y2C、y1<y2D、y1≤y2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次函數(shù)的圖象經過點(0,3),頂點坐標為(1,4),
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)求圖象與x軸交點A、B兩點的坐標;
(3)圖象與y軸交點為點C,求三角形ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•莒南縣二模)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列5個結論:
①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的實數(shù)).
其中正確的結論有(  )

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結論:①ac>0;②a-b+c<0;
③當x<0時,y<0;④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個大于-1的實數(shù)根;⑤2a+b=0.其中,正確的說法有
②④⑤
②④⑤
.(請寫出所有正確說法的序號)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A,B兩點,已知A點坐標為(-1,0),且對稱軸為直線x=2,則B點坐標為
(5,0)
(5,0)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案