Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，矩形DEFG的頂點(diǎn)G與△ABC的頂點(diǎn)C重合，邊GD、GF分別與AC，BC重合。GD=12，GF=16，矩形DEFG沿射線CB的方向以每秒4個單位長的速度勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒5個單位長的速度勻速運(yùn)動，過點(diǎn)Q作射線QK⊥AB，交折線BC-CA于點(diǎn)H，矩形DEFG、點(diǎn)Q同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時停止運(yùn)動，矩形DEFG也隨之停止運(yùn)動。設(shè)矩形DEFG、點(diǎn)Q運(yùn)動的時間是t秒（t＞0）。（1）求線段DF的長；

（2）求運(yùn)動過程中，矩形DEFG與Rt△ABC重疊部分的面積s與t的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）；

（3）射線QK能否把矩形DEFG分成面積相等的兩部分？若能，求出t值，若不能，說明理由；

（4）連接DH，當(dāng)DH∥AB時，請直接寫出t值。

 

Answer 1

【答案】

（1）連接DF，在Rt△CDF中，CD=12，CF=16，根據(jù)勾股定理：

          DF==20           

（2）①當(dāng)0＜t ≤2時，s=12×16=192   

     ②當(dāng)2＜t ＜6時，設(shè)矩形DEFG的邊EF交AB于點(diǎn)M，邊DE交AB于點(diǎn)N

     ∵  BF=24-4t tanB=  

∴MF=(24-4t)=18-3t   EM=3t-6    NE=EM=4t-8

∴s=192-EM.EN=192-6    

③當(dāng)6≤t≤10時,設(shè)DG與AB交于點(diǎn)M，BF=40- 4t

   s=MF.FB=    

(3)能,當(dāng)QK經(jīng)過矩形DEFG的對稱中心O時,就可以把矩形DEFG分成面積相等的兩部分;                                                 

  ∵在Rt△CDF與Rt△CAB中, ∠C=90°       

∴Rt△CDF∽Rt△CAB    ∴∠CFD=∠B    ∴DF∥AB

DF=20,    OF=10   BF=24-4t  HF==   QB=5t

∴          

    t=                   

(4) t=                

【解析】（1）由勾股定理即可求出DF的長；

（2）分0＜t ≤2，2＜t ＜6，6≤t≤10三種情況進(jìn)行討論；

（3）連接DF，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，由四邊形CDEF為矩形，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，根據(jù)△HBF∽△CBA，對應(yīng)邊的比相等，就可以求得t的值；

（4）當(dāng)PG∥AB時四邊形PHQG是矩形，由此可以直接寫出t．