Question

【題目】如圖，在等邊△ABC 內(nèi)有一點(diǎn)D，AD=5，BD=6，CD=4，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AE，使∠DAE=∠BAC，連接EC．

（1）求CE的長；

（2）求cos∠CDE的值．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）

【解析】試題分析：(1)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，

(2)判斷△ADE為等邊三角形,得到DE=AD=5過E點(diǎn)作EH⊥CD于H,如圖,設(shè)DH=x，則CH=4﹣x，利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，計(jì)算得出 ，然后根據(jù)余弦的定義求解.

解：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△ABD繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得△ACE，

∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，

（2）∵AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，

∴△ADE為等邊三角形，

∴DE=AD=5，

過E點(diǎn)作EH⊥CD于H，如圖，設(shè)DH=x，則CH=4﹣x，

在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，

在Rt△CHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2，

∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，

∴DH=，

在Rt△EDH中，cos∠HDE=，

即∠CDE的余弦值為．