【題目】一副三角板如圖1擺放,∠C=∠DFE=90,∠B=30,∠E=45,點(diǎn)FBC,點(diǎn)ADF,AF平分∠CAB,現(xiàn)將三角板DFE繞點(diǎn)F順時針旋轉(zhuǎn)(當(dāng)點(diǎn)D落在射線FB上時停止旋轉(zhuǎn)).

(1)當(dāng)∠AFD=_ __,DF∥AC;當(dāng)∠AFD=__ _時,DF⊥AB;

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,DFAB的交點(diǎn)記為P,如圖2,若AFP有兩個內(nèi)角相等,求∠APD的度數(shù);

(3)當(dāng)邊DE與邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N時,如圖3,若∠AFM=2∠BMN,比較∠FMN與∠FNM的大小,并說明理由。

【答案】(1)30;60(2) 60105150(3)∠FMN=∠FNM

【解析】分析:1)當(dāng)∠AFD=30°,ACDF,依據(jù)角平分線的定義可先求得∠CAF=FAB=30°,由內(nèi)錯角相等,兩直線平行,可證明ACDF,;當(dāng)∠AFD=60°DFAB,由三角形的內(nèi)角和定理證明即可;

2)分為∠FAP=AFP,AFP=APFAPF=FAP三種情況求解即可;

3)先依據(jù)三角形外角的性質(zhì)證明∠FNM=30°+∠BMN,接下來再依據(jù)三角形外角的性質(zhì)以及∠AFM和∠BMN的關(guān)系可證明∠FMN=30°+∠BMN,從而可得到∠FNM與∠FMN的關(guān)系.

詳解:(1)如圖1所示

當(dāng)∠AFD=30,ACDF

理由∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB∴∠CAF=30°.

∵∠AFD=30°,∴∠CAF=AFDACDF

如圖2所示當(dāng)∠AFD=60°,DFAB

∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,∴∠AFG=30°.

∵∠AFD=60°,∴∠FGB=90°,DFAB

故答案為:30;60

2∵∠CAB=60°,AF平分∠CAB,∴∠FAP=30°.

當(dāng)如圖3所示

當(dāng)∠FAP=AFP=30°APD=FAP+∠AFP=30°+30°=60°;

如圖4所示

當(dāng)∠AFP=APF時.

∵∠FAP=30°,AFP=APF,∴∠AFP=APF=×180°﹣30°)=×150°=75°,∴∠APD=FAP+∠AFP=30°+75°=105°;

如圖5所示

如圖5所示當(dāng)∠APF=FAP=30°時.

APD=180°﹣30°=150°.

綜上所述APD的度數(shù)為60°105°150°.

3FMN=FNM

理由如圖6所示

∵∠FNM是△BMN的一個外角,∴∠FNM=B+∠BMN

∵∠B=30°,∴∠FNM=B+∠BMN=30°+∠BMN

∵∠BMF是△AFM的一個外角,∴∠MBF=MAF+∠AFM即∠BMN+∠FMN=MAF+∠AFM

又∵∠MAF=30°,AFM=2BMN,∴∠BMN+∠FMN=30°+2BMN∴∠FMN=30°+∠BMN,∴∠FNM=FMN

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