Question

8．定義感知：我們把具有對稱軸和開口方向都相同的拋物線稱作“同向共軸拋物線”．例如拋物線y=-3（x-2）²+3與y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²-1的對稱軸都是直線x=2，且開口方向都向下，則這兩條拋物線稱作“同向共軸拋物線”．
初步運用：
（1）若拋物線y=3x²+mx-3與y=$\frac{1}{2}$x²-3x+5是“同向共軸拋物線”，則m=-18；
（2）若拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁與y=a₂x²+b₂x+c₂是“同向共軸拋物線”，則下列結論正確的是②④⑤．（只須填上正確結論的順序號即可）
①$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$；②$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{2}}$；③$\frac{_{2}}{_{1}}$=$\frac{{c}_{2}}{{c}_{1}}$；④$\frac{{a}_{1}^{2}}{{a}_{2}^{2}}$=$\frac{_{1}^{2}}{_{2}^{2}}$；⑤$\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}-_{2}}{_{2}}$．
拓展延伸：若拋物線y=ax²-x+c與y=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1是“同向共軸拋物線”，且兩拋物線的頂點相距3個單位長度，試求該拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據同向共軸拋物線的定義列出關系式，求出m的值；
（2）根據對稱軸相同的拋物線稱作“同向共軸拋物線列式，根據比例的性質解答即可；
（2）根據同向共軸拋物線的定義求出a，根據二次函數的性質解答．

解答 解：（1）由同向共軸拋物線的定義可知，-$\frac{m}{2×3}$=-$\frac{-3}{2×\frac{1}{2}}$，
解得，m=-18，
故答案為：-18；
（2）∵拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁與y=a₂x²+b₂x+c₂是“同向共軸拋物線”，
∴-$\frac{_{1}}{2{a}_{1}}$=-$\frac{_{2}}{2{a}_{2}}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{2}}$，②正確；
∴$\frac{{a}_{1}^{2}}{{a}_{2}^{2}}$=$\frac{_{1}^{2}}{_{2}^{2}}$，④正確；
由比例的性質可得，$\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}-_{2}}{_{2}}$，⑤正確；
由同向共軸拋物線的定義可知，同向共軸拋物線與c無關，
∴①③錯誤，
故答案為：②④⑤；
（3）由同向共軸拋物線的定義可知，-$\frac{-1}{2a}$=3，
解得，a=$\frac{1}{6}$，
y=$\frac{1}{6}$x²-x+c=$\frac{1}{6}$（x-3）²+c-$\frac{3}{2}$，
由題意得，c-$\frac{3}{2}$-1=±3，
解得，c=$\frac{11}{2}$或$-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的是待定系數法求函數解析式、同向共軸拋物線的定義，靈活運用待定系數法、掌握同向共軸拋物線的定義是解題的關鍵．