Question

某學習小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：
甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形．
乙同學：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時，它也不一定是正多邊形，如圖1，△ABC是正三角形，

AD

=

BE

=

CF

，證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形．
丙同學：我能證明，邊數(shù)是5時，它是正多邊形，我想…，邊數(shù)是7時，它可能也是正多邊形．
（1）請你說明乙同學構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等；
（2）請你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG（如圖2）是正七邊形；（不必寫已知，求證）
（3）根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想．（不必證明）

Answer 1

分析：要證明一個圓內(nèi)接多邊形是正多邊形，只要證明多邊形的頂點是圓的等分點就可以了．

解答：解：（1）由圖知∠AFC對

ABC

，
∵

CF

=

DA

，而∠DAF對的

DEF

=

DBC

+

FC

=

AD

+

DBC

=

ABC

，
∴∠AFC=∠DAF．同理可證，其余各角都等于∠AFC，
故圖（1）中六邊形各角相等；

（2）∵∠A對

BEG

，∠B對

CEA

，
又∵∠A=∠B，
∴

CEA

=

BEG

，
∴

BC

=

AG

，
同理，

BA

=

CD

=

EF

=

AG

=

BC

=

DE

=

FG

．

（3）猜想：當邊數(shù)是奇數(shù)時（或當邊數(shù)是3，5，7，9，時），
各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

點評：本題主要考查了連接圓的等分點所得到的多邊形是正多邊形這一結(jié)論．