精英家教網(wǎng) > 初中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（-3，0），C（0，-2）
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知在對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長最�。埱蟪鳇c(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)D是線段OC上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）．過點(diǎn)D作DE∥PC交x軸于點(diǎn)E．連接PD、PE．設(shè)CD的長為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．試說明S是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

【答案】分析：（1）已知拋物線過C（0，-2）點(diǎn)，那么c=-2；根據(jù)對稱軸為x=-1，因此-

=-1，然后將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，通過聯(lián)立方程組即可得出拋物線的解析式．
（2）本題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，由于A是B點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，因此連接AC與拋物線對稱軸的交點(diǎn)就是P點(diǎn)．可根據(jù)A，C的坐標(biāo)求出AC所在直線的解析式，然后根據(jù)得出的一次函數(shù)的解析式求出與拋物線對稱軸的交點(diǎn)即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）△PDE的面積=△OAC的面積-△PDC的面積-△ODE的面積-△AEP的面積
△OAC中，已知了A，C的坐標(biāo)，可求出△OAC的面積．
△PDC中，以CD為底邊，P的橫坐標(biāo)的絕對值為高，即可表示出△PDC的面積．
△ODE中，可先用m表示出OD的長，然后根據(jù)△ODE與△OAC相似，求出OE的長，根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式可用m表示出△ODE的面積．
△PEA中，以AE為底邊（可用OE的長表示出AE），P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值為高，可表示出△PEA的面積．
由此可表示出△ODE的面積，即可得出關(guān)于S，m的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出三角形的最大面積以及對應(yīng)的m的值．
解答：解：（1）由題意得

，
解得

，
∴此拋物線的解析式為y=

x²+

x-2．

（2）連接AC、BC．

因?yàn)锽C的長度一定，
所以△PBC周長最小，就是使PC+PB最小．
B點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是A點(diǎn)，AC與對稱軸x=-1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．
設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b，
則

，
解得

，
∴此直線的表達(dá)式為y=-

x-2，
把x=-1代入得y=-

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-

）．

（3）S存在最大值，
理由：∵DE∥PC，即DE∥AC．
∴△OED∽△OAC．
∴

，即

，
∴OE=3-

m，OA=3，AE=

m，
∴S=S_△OAC-S_△OED-S_△AEP-S_△PCD
=

×3×2-

×（3-

m）×（2-m）-

m×

×m×1
=-

m²+

m=-

（m-1）²+

∵

∴當(dāng)m=1時，S最大=

．
點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形相似等重要知識點(diǎn)；
（3）中無法直接求出三角形的面積時，可用其他圖形的面積經(jīng)過“和，差”的關(guān)系來求出其面積．

練習(xí)冊系列答案

我的筆記系列答案

初中生名著閱讀高效訓(xùn)練系列答案

中考全程總復(fù)習(xí)系列答案

閱讀課堂北京教育出版社系列答案

1日1練口算題卡系列答案

舉一反三同步巧講精練系列答案

年級	高中課程	年級	初中課程
高一	高一免費(fèi)課程推薦！	初一	初一免費(fèi)課程推薦！
高二	高二免費(fèi)課程推薦！	初二	初二免費(fèi)課程推薦！
高三	高三免費(fèi)課程推薦！	初三	初三免費(fèi)課程推薦！
更多初中、高中輔導(dǎo)課程推薦,點(diǎn)擊進(jìn)入>>

相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：拋物線y=x2-(a+b)x+

，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊．
（1）求證：拋物線與x軸必有兩個不同交點(diǎn)；
（2）設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，拋物線與y軸交于點(diǎn)N，若拋物線的對稱軸為x=a，△MNE與△MNF的面積比為5：1，求證：△ABC是等邊三角形；
（3）在（2）的條件下，設(shè)△ABC的面積為

，拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q，問是否

存在過P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓？若存在，求出圓的圓心坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），一條直線y=ax+b，它們的系數(shù)之間滿足如下關(guān)系：a＞b＞c．
（1）求證：拋物線與直線一定有兩個不同的交點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線與直線的兩個交點(diǎn)為A、B，過A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為A₁、B₁．令k=

，試問：是否存在實(shí)數(shù)k，使線段A₁B₁的長為4

．如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：