【題目】如圖,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6cm,∠ABC=30°,動點 P 從點 B 出發(fā),在 BA 邊上以每秒 2cm 的速度向點 A 勻速運動,同時動點 Q 從點 C 出發(fā),在 CB 邊上以每秒cm 的速度向點 B 勻速運動,運動時間為 t 秒(0≤t≤6),連接 PQ,以 PQ 為直徑作⊙O.
(1)當 t=1 時,求△BPQ 的面積;
(2)設(shè)⊙O 的面積為 y,求 y 與 t 的函數(shù)解析式;
(3)若⊙O 與 Rt△ABC 的一條邊相切,求 t 的值.
【答案】(1);(2)y=t2-18πt+27π;(3)t 的值為 3 或或 0 或.
【解析】
(1)連接DP,根據(jù)△BPM~△BAC,可得PD=t,BQ=(6-t),然后得到
=BQ·PD即可得出結(jié)論;
(2)先表示出DP,BD,進而利用勾股定理求出PQ的平方,最后用圓的面積公式即可得出結(jié)論;
(3)分O與BC相切、O與AB相切, O與AC相切時,三種情況分類討論即可得出結(jié)論.
解:
(1)如圖 1,
在 Rt△ABC 中,∠ABC=30°,AC=6,
∴AB=12,BC=6,
由運動知,BP=2t,CQ=t,
∴BQ=BC﹣CQ=(6﹣t),連接 DP,
∵PQ 是⊙O 的直徑,
∴∠PDQ=90°
∵∠C=90°,
∴PD∥AC.
∴△BPD∽△BAC,
∴=
∴=,
∴DP=t,BD= t,
= BQPD= ×(6﹣t)t=﹣ t+3 t
∴當 t=1 時,=﹣ +3= ;
(2)DQ=|BQ﹣BD|=| (6﹣t)﹣ t|=2|3﹣t|,PQ=PD+DQ=t+[2
(3﹣t)]=13t﹣72t+108,
∴y=π×()= t﹣18πt+27π,
(3)由運動知,BP=2t,CQ=t,
∴BQ=BC﹣CQ=(6﹣t),當⊙O 與 BC 相切時,PQ⊥BC,
∴△BPQ∽△BAC,
∴
∴
∴=3,
當⊙O 與 AB 相切時,PQ⊥AB,
∴△BPQ∽△BCA
∴
∴ ,
∴= ,
當⊙O 與 AC 相切時,
如圖 2 ,
過點 O 作 OH⊥AC 于點 H,交 PD 于點 N,
∴OH∥BC,
∵點 O 是 PQ 的中點,
∴ON= QD,
由(1)知,BQ=(6﹣t),BD=t,
∴QD=BD﹣BQ=2(t﹣3),DC=BC﹣BD=6﹣t=(6﹣t)
∴OH=ON+NH= QD+DC= ×2 (t﹣3)+ (6﹣t)=3 ,
∴PQ=2OH=6,
由(2)知,PQ=13t﹣72t+108
∴13t﹣72t+108=36×3解得 =0,=,
綜上所述,若⊙O 與 Rt△ABC 的一條邊相切,t 的值為 3 或或 0 或.
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【題目】對角線長分別為6和8的菱形ABCD如圖所示,點O為對角線的交點,過點O折疊菱形,使B,B′兩點重合,MN是折痕.若B'M=1,則CN的長為( 。
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
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【題目】下列說法正確的是( )
A.了解飛行員視力的達標率應(yīng)使用抽樣調(diào)查
B.一組數(shù)據(jù)3,6,6,7,9的中位數(shù)是6
C.從2000名學生中選200名學生進行抽樣調(diào)查,樣本容量為2000
D.一組數(shù)據(jù)1,2,3,4,5的方差是10
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【題目】現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用,催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.阜陽市某家快遞公司,2017年3月份與5月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件.現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長率相同.
(1)求該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率?
(2) 如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件,那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成2017年6月份的快遞投遞任務(wù)?如果不能,請問至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員?
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【題目】在一只不透明的布袋中裝有紅球 3 個、黃球 1 個,這些球除顏色外都相同,均勻搖勻.
(1)從布袋中一次摸出 1 個球,計算“摸出的球恰是黃球”的概率;
(2)從布袋中一次摸出 2 個球,計算“摸出的球恰是一紅一黃”的概率(用“ 畫樹狀圖”或“列表”的方法寫出計算過程).
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【題目】如圖,銳角△ABC 中 BC=a,AC=b,AB=c,記三角形 ABC 的面積為 S.
(1)求證:S=absinC;
(2)求證:.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線l與x軸相交于點M(3,0),與y軸相交于點N(0,4),點A為MN的中點,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象過點A.
(1)求直線l和反比例函數(shù)的解析式;
(2)在函數(shù)y=(k>0)的圖象上取異于點A的一點C,作CB⊥x軸于點B,連接OC交直線l于點P,若△ONP的面積是△OBC面積的3倍,求點P的坐標.
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【題目】甲、乙、丙、丁四位同學進行一次乒乓球單打比賽,要從中選出兩位同學打第一場比賽.
(1)請用樹狀圖法或列表法,求恰好選中甲、乙兩位同學的概率.
(2)若已確定甲打第一場,再從其余三位同學中隨機選取一位,求恰好選中乙同學的概率.
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【題目】(9分)已知:ABCD的兩邊AB,AD的長是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根.
(1)當m為何值時,四邊形ABCD是菱形?求出這時菱形的邊長;
(2)若AB的長為2,那么ABCD的周長是多少?
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