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如圖,AC是∠BAD的角平分線,∠BAD=120°;點(diǎn)C是線段BD的中點(diǎn),且CD=3cm.請(qǐng)根據(jù)以上條件計(jì)算:∠1的度數(shù),∠3的度數(shù),線段BD的長(zhǎng).
分析:過C分別作出邊AD和AB的垂線CE與CF,由AC為角平分線,此時(shí)由∠BAD的度數(shù)即可求出∠1的度數(shù),根據(jù)角平分線定理:角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等,可得出CE=CF,又C為BD的中點(diǎn),可得DC=BC,此時(shí)由CD的長(zhǎng),即可求出BD的長(zhǎng),利用HL可證明直角三角形DEC與直角三角形BFC全等,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得∠3=∠B,等角對(duì)等邊可得三角形ABD為等腰三角形,再由AC為底邊上的中線,根據(jù)三線合一得到AC垂直于DB,可得∠ACD為直角,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,由∠1和∠ACD即可求出∠3的度數(shù).
解答:
解:過C作CE⊥AD,交AD于E,過C作CF⊥AB,交AB于F,
∵AC是∠BAD的角平分線,∠BAD=120°,
∴∠1=∠2=60°,
又AC是∠BAD的角平分線,CE⊥AB,CF⊥AB,
∴CE=CF,又C是線段BD的中點(diǎn),且CD=3cm,可得BD=2CD=2BC=6cm,
在Rt△DEC和Rt△BFC中,
DC=BC
CE=CF
,
∴Rt△DEC≌Rt△BFC(HL),
∴∠3=∠B,
∴AD=AB,又AC為底邊DB的中線,
∴AC⊥DB,
∴∠ACD=90°,
∴∠3=180°-∠1-∠ACD=30°,
則∠1=60°∠3=30°,BD=6cm.
點(diǎn)評(píng):此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì),角平分線定理,全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線定義及中線的定義,解題思路為:作出輔助線CE和CF,利用角平分線定理得出CE=CF,進(jìn)而判定出三角形全等,得到對(duì)應(yīng)角相等,利用等角對(duì)等邊得出等腰三角形,進(jìn)而利用三線合一來解決問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:如圖,AC是∠BAD和∠BCD的角平分線,則△ABC≌△ADC用(  )判定.
A、AAAB、ASA或AASC、SSSD、SAS

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,AC是∠BAD的角平分線,點(diǎn)C是線段BD的中點(diǎn).
(1)若CD=3cm,求線段BD的長(zhǎng);
(2)若∠BAD=120°,且∠1與∠3互余,請(qǐng)求出∠1、∠3的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

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