Question

已知：如圖所示，直線l的解析式為，并且與x軸、y軸分別交于點A、B.

（1）求A、B兩點的坐標；
（2）一個圓心在坐標原點、半徑為1的圓，以0.4個單位/秒的速度向x軸正方向運動，問在什么時刻與直線l相切；
（3）在題（2）中，若在圓開始運動的同時，一動點P從B點出發(fā)，沿射線BA方向以0.5個單位/秒的速度運動，設t秒時點P到動圓圓心的距離為s，求s與t的關系式；
（4）問在整個運動過程中，點P在動圓的圓面(圓上和圓內(nèi)部)上，一共運動了多長時間？

Answer 1

（1）（4，0），（0，－3）；（2）秒或秒；（3）；（4）秒.

試題分析：（1）根據(jù)直線l的解析式為直接求出A、B兩點坐標即可；（2）當圓與直線相切時，分圓還直線l的左右側兩種情況討論即可；（3）分和討論即可；（4）設t秒時，圓心運動到點G，連接GP，先證明△AGP∽△AOB，且GP∥OB。從而根據(jù)點P進入和離開動圓的圓面的位置求出在整個運動的過程中，點P在動圓的圓面（圓上和圓的內(nèi)部）上運動的時間.
試題解析：（1）∵直線l的解析式為，并且與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴當y=0時，x=4；當x=0時，y=－3. ∴A、B兩點的坐標分別為A（4，0），B（0，－3）.
（2）若動圓的圓心在C處時與直線l相切，設切點為D，
∵A（4，0）B（0，－3），∴AB=.
如圖，連接CD，則CD⊥AD.
∵∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90⁰，∴Rt△ACD∽Rt△ABO. ∴.
∵CD=1，BO=3，AB=5，∴. ∴. ∴.
∵圓運動的速度為0.4個單位/每秒，∴t=（秒）.
根據(jù)對稱性，圓還可能在直線l的右側，與直線相切，
若動圓的圓心在E處時與直線l相切，設切點為F，此時，t=（秒）.
∴當圓運動秒或秒時圓與直線l相切.

（3）.
（4）如圖，設t秒時，圓心運動到點G，連接GP，
∵動點P的速度是0.5個單位/秒，∴BP=0.5t，AP=5－0.5t.
∵動圓的速度是0.4個單位/秒，∴OG=0.4t，AP=4－0.4t.
∴. ∴.
∴△AGP∽△AOB，且GP∥OB. ∴GP⊥OA.
∴當GP=1（圓的半徑）時，點P進入動圓的圓面.
∴，即. ∴.
∴點P經(jīng)過AP的時間為（秒）.
根據(jù)對稱性，點A的右邊點P在動圓的圓面上還有秒.
∴在整個運動的過程中，點P在動圓的圓面（圓上和圓的內(nèi)部）上一共運動了秒.