Question

【題目】已知，如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，AD=6．延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=3，連接DE．

（1）DE的長(zhǎng)為　 　．

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP和△DCE全等？

（3）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度僅沿著BE向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，連接DP．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）當(dāng)t為3秒或13秒時(shí)，△ABP和△DCE全等；（3）t的值為3或4或．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得CD＝4，根據(jù)勾股定理可求DE的長(zhǎng)；

（2）若△ABP與△DCE全等，可得AP＝CE＝3或BP＝CE＝3，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度，可求t的值；

（3）分PD＝DE，PE＝DE，PD＝PE三種情況討論，分別利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出BP，即可得到t的值．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，

在Rt△DCE中，DE＝＝5，

故答案為 5；

（2）若△ABP與△DCE全等，則BP＝CE或AP＝CE，

當(dāng)BP＝CE＝3時(shí)，則t＝＝3秒，

當(dāng)AP＝CE＝3時(shí)，則t＝＝13秒，

∴當(dāng)t為3秒或13秒時(shí)，△ABP和△DCE全等；

（3）若△PDE為等腰三角形，則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，

當(dāng)PD＝DE時(shí)，

∵PD＝DE，DC⊥BE，

∴PC＝CE＝3，

∵BP＝BCPC＝3，

∴t＝＝3；

當(dāng)PE＝DE＝5時(shí)，

∵BP＝BEPE，

∴BP＝6+35＝4，

∴t＝＝4；

當(dāng)PD＝PE時(shí)，

∴PE＝PC＋CE＝3＋PC，

∴PD＝3＋PC，

在Rt△PDC中，PD2＝CD2＋PC2，

∴（3＋PC）2＝16＋PC2，

∴PC＝，

∵BP＝BCPC＝，

∴，

綜上所述：t的值為3或4或．