Question

【題目】如圖，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點(diǎn)Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．

（1）請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？
（2）請(qǐng)判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；
（3）在平移變換過程中，設(shè)y=S△OPB ， BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形APQD為平行四邊形；

（2）解：OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，

∵OQ⊥BD，

∴∠PQO=45°，

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，

∴OB=OQ，

在△AOB和△OPQ中，

∴△AOB≌△POQ（SAS），

∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，

∴∠AOP=∠BOQ=90°，

∴OA⊥OP；

（3）解：如圖，過O作OE⊥BC于E．

①如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，

則BQ=x+2，OE= ，

∴y= × x，即y= （x+1）2﹣ ，

又∵0≤x≤2，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2；

②如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，

則BQ=2﹣x，OE= ，

∴y= × x，即y=﹣ （x﹣1）2+ ，

又∵0≤x≤2，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值為 ；

綜上所述，∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2；

【解析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得PQ∥AD且PQ=AD，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行證明即可；
（2）先證明△BOQ為等腰直角三角形，從而可得到∠OQP=∠ABO，由平移的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得到PQ=AB，然后依據(jù)SAS可證明△AOB≌△POQ，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AO與OP的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得AO與OP的位置關(guān)系；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得OE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式可得到y(tǒng)與x的二次函數(shù)關(guān)系式，最后，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.