Question

如圖所示，△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)：
（1）經(jīng)過多少秒后，△CPQ的面積為8cm？
（2）經(jīng)過多少秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似．

Answer 1

（1）解：設(shè)AC=3x，AB=5x，
由勾股定理得：AB²=AC²+BC²，
∴（3x）²+8²=（5x）²，
解得：x=2，
∴AC=6，AB=10，
設(shè)經(jīng)過t秒后，△CPQ的面積為8cm²，
PC=8-2t，CQ=t，
PC×CQ=8，
×（8-2t）×t=8，
解得：此方程無解，
答：不論經(jīng)過多少秒后，△CPQ的面積都不能為8cm²．

（2）解：設(shè)經(jīng)過x秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似，
∵∠C=∠C=90°，
∴要使以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似，
具備=或=就行，
代入得：=或=，
解得：x=2.4或x=，
答：經(jīng)過2.4秒或秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似．
分析：（1）設(shè)AC=3x，AB=5x，根據(jù)勾股定理求出AC、AB的長，根據(jù)三角形的面積公式得到方程×（8-2t）×t=8，求出方程的解即可；
（2）設(shè)經(jīng)過x秒時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形恰與△ABC相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=或=，代入求出即可．
點(diǎn)評：本題主要考查對相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，解一元二次方程等知識點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)題意列出方程是解此題的關(guān)鍵．