Question

【題目】旋轉變換是解決數學問題中一種重要的思想方法，通過旋轉變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問題．

已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D、E在邊BC上，且∠DAE＝α．

（1）如圖1，當α＝60°時，將△AEC繞點A順時針旋轉60°到△AFB的位置，連接DF，

①求∠DAF的度數；

②求證：△ADE≌△ADF；

（2）如圖2，當α＝90°時，猜想BD、DE、CE的數量關系，并說明理由；

（3）如圖3，當α＝120°，BD＝4，CE＝5時，請直接寫出DE的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）①30°②見解析（2）BD2+CE2＝DE2（3）

【解析】

（1）①利用旋轉的性質得出∠FAB=∠CAE，再用角的和即可得出結論；②利用SAS判斷出△ADE≌△ADF，即可得出結論；

（2）先判斷出BF=CE，∠ABF=∠ACB，再判斷出∠DBF=90°，即可得出結論；

（3）同（2）的方法判斷出∠DBF=60°，再用含30度角的直角三角形求出BM，FM，最后用勾股定理即可得出結論．

解：（1）①由旋轉得，∠FAB＝∠CAE，

∵∠BAD+∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣30°＝30°，

∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°；

②由旋轉知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，

∴∠BAF+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝∠DAE，

在△ADE和△ADF中，，

∴△ADE≌△ADF（SAS）；

（2）BD2+CE2＝DE2，

理由：如圖2，將△AEC繞點A順時針旋轉90°到△AFB的位置，連接DF，

∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACB，

由（1）知，△ADE≌△ADF，

∴DE＝DF，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝∠ABC+∠ACB＝90°，

根據勾股定理得，BD2+BF2＝DF2，

即：BD2+CE2＝DE2；

（3）如圖3，將△AEC繞點A順時針旋轉90°到△AFB的位置，連接DF，

∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACB，

由（1）知，△ADE≌△ADF，

∴DE＝DF，BF＝CE＝5，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°，

∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝∠ABC+∠ACB＝60°，

過點F作FM⊥BC于M，

在Rt△BMF中，∠BFM＝90°﹣∠DBF＝30°，

BF＝5，

∴，

∵BD＝4，

∴DM＝BD﹣BM＝，

根據勾股定理得， ，

∴DE＝DF＝，

故答案為．