Question

1．已知，如圖，在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAD的平分線于E，AE交DC于F，求證：CE=$\frac{1}{2}$AF．

Answer 1

分析 延長AD、CE交于點M，先證明△ADF≌△CDM得AF=CM，再證明△AEC≌△AEM得EC=EM即可得到結論．

解答 證明：延長AD、CE交于點M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=∠CDM=90°，
∵∠EAM+∠M=90°，∠DCM+∠M=90°，
∴∠EAM=∠DCM，
在△ADF和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠DCM}\\{∠ADF=∠CDM}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDM，
∴AF=CM，
在△AEC和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠EAC}\\{AE=AE}\\{∠AEC=∠AEM}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△AEM，
∴EC=EM，
∴CE=$\frac{1}{2}$AF．

點評 本題考查正方形的性質、角平分線的性質等知識，構造全等三角形是解題的關鍵．