如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(1,0)和點B(﹣3,0),與y軸交于點C,且OC=OB.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)若點E為第二象限拋物線上一動點,連接BE,CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求出此時點E的坐標;

(3)點P在拋物線的對稱軸上,若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上,求點P的坐標.


       解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(1,0)和點B(﹣3,0),

∴OB=3,

∵OC=OB,

∴OC=3,

∴c=3,

,

解得:,

∴所求拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;

(2)如圖2,過點E作EF⊥x軸于點F,設E(a,﹣a2﹣2a+3)(﹣3<a<0)

∴EF=﹣a2﹣2a+3,BF=a+3,OF=﹣a,

∴S四邊形BOCE=BF•EF+(OC+EF)•OF,

=(a+3)•(﹣a2﹣2a+3)+(﹣a2﹣2a+6)•(﹣a),

=﹣a+,

=﹣(a+2+,

∴當a=﹣時,S四邊形BOCE最大,且最大值為

此時,點E坐標為(﹣,);

(3)∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為x=﹣1,點P在拋物線的對稱軸上,

∴設P(﹣1,m),

∵線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上,如圖,

∴PA=PA′,∠APA′=90°,

如圖3,過A′作A′N⊥對稱軸于N,設對稱軸于x軸交于點M,

∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°,

∴∠NA′P=∠NPA,

在△A′NP與△APM中,

∴△A′NP≌△PMA,

∴A′N=PM=|m|,PN=AM=2,

∴A′(m﹣1,m+2),

代入y=﹣x2﹣2x+3得:m+2=﹣(m﹣1)2﹣2(m﹣1)+3,

解得:m=1,m=﹣2,

∴P(﹣1,1),(﹣1,﹣2).


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