如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(1,0)和點B(﹣3,0),與y軸交于點C,且OC=OB.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點E為第二象限拋物線上一動點,連接BE,CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求出此時點E的坐標;
(3)點P在拋物線的對稱軸上,若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上,求點P的坐標.
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(1,0)和點B(﹣3,0),
∴OB=3,
∵OC=OB,
∴OC=3,
∴c=3,
∴,
解得:,
∴所求拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)如圖2,過點E作EF⊥x軸于點F,設E(a,﹣a2﹣2a+3)(﹣3<a<0)
∴EF=﹣a2﹣2a+3,BF=a+3,OF=﹣a,
∴S四邊形BOCE=BF•EF+
(OC+EF)•OF,
=(a+3)•(﹣a2﹣2a+3)+
(﹣a2﹣2a+6)•(﹣a),
=﹣﹣
a+
,
=﹣(a+
)2+
,
∴當a=﹣時,S四邊形BOCE最大,且最大值為
.
此時,點E坐標為(﹣,
);
(3)∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為x=﹣1,點P在拋物線的對稱軸上,
∴設P(﹣1,m),
∵線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上,如圖,
∴PA=PA′,∠APA′=90°,
如圖3,過A′作A′N⊥對稱軸于N,設對稱軸于x軸交于點M,
∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°,
∴∠NA′P=∠NPA,
在△A′NP與△APM中,
,
∴△A′NP≌△PMA,
∴A′N=PM=|m|,PN=AM=2,
∴A′(m﹣1,m+2),
代入y=﹣x2﹣2x+3得:m+2=﹣(m﹣1)2﹣2(m﹣1)+3,
解得:m=1,m=﹣2,
∴P(﹣1,1),(﹣1,﹣2).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,直線y=mx+n與雙曲線y=相交于A(﹣1,2),B(2,b)兩點,與y軸相交于點C.
(1)求m,n的值;
(2)若點D與點C關(guān)于x軸對稱,求△ABD的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,四邊形ABCD為菱形,M為BC上一點,連接AM交對角線BD于點G,并且∠ABM=2∠BAM.
(1)求證:AG=BG;
(2)若點M為BC的中點,同時S△BMG=1,求三角形ADG的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,點B,F(xiàn),C,E在同一直線上,BF=CE,AB∥DE,請?zhí)砑右粋€條件,使△ABC≌△DEF,這個添加的條件可以是 (只需寫一個,不添加輔助線).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
為了解全校學生上學的交通方式,該校九年級(8)班的5名同學聯(lián)合設計了一份調(diào)查問卷,對該校部分學生進行了隨機調(diào)查.按A(騎自行車)、B(乘公交車)、C(步行)、D(乘私家車)、E(其他方式)設置選項,要求被調(diào)查同學從中單選.并將調(diào)查結(jié)果繪制成條形統(tǒng)計圖1和扇形統(tǒng)計圖2,根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)是 人,并把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,“步行”的人數(shù)所占的百分比是 ,“其他方式”所在扇形的圓心角度數(shù)是 ;
(3)已知這5名同學中有2名女同學,要從中選兩名同學匯報調(diào)查結(jié)果.請你用列表法或畫樹狀圖的方法,求出恰好選出1名男生和1名女生的概率.
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