Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6．若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上左右移動(dòng)時(shí)，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動(dòng)．

(1)當(dāng)∠OAD＝30°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)AD的中點(diǎn)為M，連接OM、MC，當(dāng)四邊形OMCD的面積為時(shí)，求OA的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到某一位置時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離有最大值，請(qǐng)直接寫出最大值，并求此時(shí)cos∠OAD的值．

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，3+2)；(2)OA＝3；(3)OC的最大值為8，cos∠OAD＝．

【解析】

(1)作CE⊥y軸，先證∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，從而得出點(diǎn)C坐標(biāo)；

(2)先求出S△DCM＝6，結(jié)合S四邊形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，設(shè)OA＝x、OD＝y，據(jù)此知x2+y2＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，從而得出答案；

(3)由M為AD的中點(diǎn)，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線時(shí)，OC有最大值8，連接OC，則此時(shí)OC與AD的交點(diǎn)為M，ON⊥AD，證△CMD∽△OMN得，據(jù)此求得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN＝，再由OA＝及cos∠OAD＝可得答案．

(1)如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，

∴∠CDE+∠ADO＝90°，

又∵∠OAD+∠ADO＝90°，

∴∠CDE＝∠OAD＝30°，

∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，

在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，

∴OD＝AD＝3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，3+2)；

(2)∵M為AD的中點(diǎn)，

∴DM＝3，S△DCM＝6，

又S四邊形OMCD＝，

∴S△ODM＝，

∴S△OAD＝9，

設(shè)OA＝x、OD＝y，則x2+y2＝36，xy＝9，

∴x2+y2＝2xy，即x＝y，

將x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，

解得x＝3(負(fù)值舍去)，

∴OA＝3；

(3)OC的最大值為8，

如圖2，M為AD的中點(diǎn)，

∴OM＝3，CM＝＝5，

∴OC≤OM+CM＝8，

當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線時(shí)，OC有最大值8，

連接OC，則此時(shí)OC與AD的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)O作ON⊥AD，垂足為N，

∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，

∴△CMD∽△OMN，

∴，即，

解得MN＝，ON＝，

∴AN＝AM﹣MN＝，

在Rt△OAN中，OA＝，

∴cos∠OAD＝．